Đáp án đề 4

Bài 1: a) Tìm tất cả các số nguyên dương n để



b)Cho hệ:
Tính biểu thức P=

Lời giải:
a) Ta có:


Do đó:





Vì n nguyên dương nên

Kết luận:
hoặc

b) Ta có:






Vậy

Bài 2: a) Giải phương trình:

b) Cho x
. Tính P=(

Lời giải:
a) Ta có:






Kết luận:
hoặc


b) Trước hết ta tính x, ta có:


Suy ra

Lại có:

Suy ra

Từ đó ta có: x

Suy ra:
P=(

Vậy P=1
Bài 3: a) Cho
và
. Chứng tỏ:

b) Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=

Lời giải:
Vì

Vậy

Mặt khác, ta có:



(1)
Lại có:



(2)
Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức (1) và (2) rồi rút gọn, ta được:


Vậy
. ĐPCM
b) Ta có:


Vì
nên

Suy ra:

Suy ra
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tương tự như vậy
và

Suy ra P=

Hay là
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Bài 4: Cho tam giác ABC không cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, AD là đường cao, E, F lần lượt là các hình chiếu vuông góc của B, C trên đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Lời giải:
Vì
nên tứ giác ADFC là tứ giác nội tiếp

(1)
Lại có
nên tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp
Suy ra
(2)
Mặt khác:
(Cùng bù với
) (3)

(Tứ giác
là tứ giác nội tiếp) (4)
Từ (2), (3), (4) suy ra
(5)
Từ (1) và (5) suy ra

Suy ra AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Vì MD
AD nên MD đường thẳng chứa đường kính của đường tròn. (6)
Bây giờ gọi K là giao điểm của ME với CF.
Dễ dàng nhận thấy
( góc, cạnh, góc)
Suy ra ME=MK hay nói cách khác M là trung điểm của EK.
Xét tam giác vuông EFK có FM là trung tuyến, do đó ME=MF, suy ra M nằm trên đường trung trực của của EF hay nói cách khác M nằm trên một đường kính khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF (7)
Từ (6) và (7) suy ra M chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF. ĐPCM.