Đáp án bồi dưỡng Toán 9 (đề 19)

ĐÁP ÁN ĐỀ 19
Bài 1: Chứng minh rằng trong 2008 số khác nhau tùy ý lấy ra từ tập hợp:
A ={1, 2, 3,..,20072008} có ít nhất 2 số x, y thỏa mãn:

Lời giải:
Chia tập hợp A thành 2007 tập hợp con
Ak={k2008,k2008 +1..,(k+1)2008–1} với

và A2006 ={20062008, .., 20072008–2}, A2007={20072008–1, 20072008}
Bây giờ lấy 2008 số khác nhau từ tập hợp A, theo nguyên lý Derichle, tồn tại 2 số x < y cùng nằm trong 1 tập hợp con Ap nào đó.Xét các trường hợp
a) p = 2007.
Khi đó x=20072008–1 và y = 20072008.
Ta có:
Và
nên
ĐPCM.
b) p ≤ 2006.
Khi đó p2008 ≤ x < y≤ (p+1)2008–1 ( Đúng cho cả trường hợp p =2006)



.
ĐPCM.

Bài 2: Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương thì |
| ≥

Lời giải:
Vì
là số vô tỷ,
là số hữu tỷ nên









Mặt khác
và
nên:


Do đó:
. ĐPCM.

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức nn+3 +(n+1)n+3 < (n+2)n+3
Bổ đề: Cho
, ta có:

Chứng minh bổ đề: Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
Do đó:

(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

.ĐPCM.

Bài 4: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c; abc = 1 và

Chứng minh rằng: a + b> ab +1
Lời giải:
Trước hết, ta chứng minh c < 1.Thật vậy:
Nếu c >1. Vì a ≥ b ≥ c nên a > 1, b > 1
abc > 1. Vô lý
Nếu c = 1. Vì a ≥ b ≥ c và abc = 1 nên a = 1, b = 1

. Vô lý
Vậy c < 1.
Trở lại với bài toán ban đầu,ta có:











(1 – c)(a + b – ab – 1) > 0

a + b – ab – 1 > 0

a + b > ab + 1.ĐPCM

Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). M là điểm chuyển động trên cạnh đáy BC. Dựng đường tròn (O1) qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn (O2) qua M và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại D.
a) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định
b) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí của M
Lời giải:
a) Ta có:
MBO1 =900 –
ABC = 900 –
ACB =
MCO2

Hai tam giác cân
MO1B và
MO2C đồng dạng với nhau
Kẻ O2K vuông góc với BC. Ta có:

MDC =
MO2C =
KO2C (1)

KO2C =
ACB (Cùng phụ với
KCO2) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
MDC =
ACB = C (3)
Chứng minh tương tự, ta có:

MDB =
ABC = B (4)
Từ (3) và (4) suy ra
MDC =
MDB
Lại có:
BAC +
BDC =
BAC +
MDB +
MDC = A + B + C =1800

Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp
Vì MD là phân giác góc BDC nên MD đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa D của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hay nói cách khác MD qua A là điểm cố định. ĐPCM.
b) Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của các đường tròn (O1), (O2). Dễ dàng chứng minh được:

AHC
CKO2 (góc, góc)
(5)
Tương tự như vậy, ta chứng minh được:
(6)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức (5) và (6) với chú ý rằng AB = AC, ta được:


Độ dài của đường tròn (O1) là

Độ dài của đường tròn (O2) là



+
=


Tổng độ dài của hai đường tròn không phụ thuộc vào vị trí của M. ĐPCM.