Đại số 8 - Chương 1. Phép nhân và phép chia đa thức (Nâng cao)

Chương I
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Tính giá trị của biểu thức:

tại x = 2222.

tại x = 2008.
Cho
. So sánh A và B.
Chứng minh
. Từ đó tìm GTNN của
.
Xác định a, b biết
với mọi x.
a) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 3, b chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ab chia cho 5 dư 2.
Tìm các số tự nhiên x, y sao cho
.
Cho p là số nguyên tố,
và thỏa mãn 2p +1 cũng là số nguyên tố.
Chứng minh p(p + 5) + 31 là hợp số.
Rút gọn biểu thức
(Đề thi HSG Toán 8_Quận 3_HCM)
Cho
. Chứng minh rằng:
Nếu A = 5x + y chia hết cho 19 thì B = 4x – 3y cũng chia hết cho 19.
Nếu C = 4x + 3y chia hết cho 13 thì D = 7x + 2y cũng chia hết cho 13.
Viết biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương
.
Khi đó, tìm x, y biết
.
Tính nhanh:






Chứng minh rằng các biểu thức sau dương với mọi giá trị của x:




Chứng minh rằng các biểu thức sau âm với mọi giá trị của x:




Tìm GTNN của biểu thức

Tìm GTLN của biểu thức

Cho a + b + c = 0. Chứng minh
.
Cho
và
. Tính
.
Cho a, b, c thỏa mãn
.
Tính
(Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM)
Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a + b = c + d. Chứng minh rằng
luôn là tổng của ba số chính phương.(Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM)
Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn
thì
cũng là số nguyên tố.(Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)
Chứng minh biểu thức sau không thể là lập phương của một số tự nhiên
(Đề thi HSG Toán 8_Quãng Ngãi)
Chứng minh hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8.
(Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)
Tìm x biết:




a. Cho
. Chứng minh a = b = c.
Cho
. Chứng minh a = b = c = d.
Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh:




Tìm
biết
.
Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh
.
(Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)
Cho

Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì A = 0.
Điều ngược lại có đúng không? (Đề thi HSG Toán 8_Quận 12_HCM)
Cho hai số dương a, b thỏa
. Tính giá trị biểu thức
(Đề thi HSG Toán 8 Tp.HCM 2011)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:








Tìm x biết:




Tìm các số tự nhiên n sao cho
là số nguyên tố.
Cho a, b, c, d thỏa mãn
.
Chứng minh rằng
(Đề thi HSG Toán 8_Quận 3_HCM)
Chứng minh rằng đa thức
không thể có giá trị là 929 với mọi số nguyên x, y.
Chứng minh rằng
với mọi số nguyên n.
Khi đó, cho
,
. Đặt
và
.
Chứng minh rằng

Tìm
để
là số nguyên tố. (Đề thi HSG Toán 8_Quận 9_HCM 2007)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và thỏa mãn
.
Chứng minh rằng tam giác ABC đều. (Đề thi HSG Toán 8_Quận 1_HCM)
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi
:

.
Xác định đa thức dư của phép chia đa thức
cho đa thức

Tìm các số nguyên n để đa thức
chia hết cho đa thức n – 2.
Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho lần lượt các nhị thức x – 1; x – 2; x – 3 đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị là – 18. (Đề HSG Toán 8 Quận 1)
Cho
và
. Tính

Cho
.
Chứng minh

Cho hai đa thức
. Gọi
là các nghiệm của đa thức P(x). Tính