ĐA HSG Toán Bắc Ninh 2017

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán - Lớp 9

Câu
Đáp án
Điểm

1.1. (1.5 điểm)




0.75




0.75

1.2. (1.5 điểm)






0.75


Ta có



Do vậy,

0.75

2.1. (2.0 điểm)


Ta có

Với
, không có
thỏa mãn.
1.0


Với

Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là
hoặc

1.0

2.2. (2.0 điểm)


Với
ta được
.
Nếu
phương trình nghiệm đúng với mọi

Nếu
phương trình có nghiệm

1.0


Với




Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
1.0

3.1. (2.0 điểm)


Ta có

nên
0.5




0.5




0.5


Do đó,

Tương tự
,
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

0.5

3.2. (2.0 điểm)


Vì VP chia
dư
nên VT chia
dư
Mà bình phương của số nguyên tố chia
dư
hoặc
nên hai trong ba số
phải bằng

0.5


TH1:
ta có



(thỏa mãn)
Vậy ta được
.
0.5


TH2: Nếu
;
hoặc

Với
ta có

Vì
cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn.
Ta được các trường hợp:

(thỏa mãn)
Ta được các bộ
thỏa mãn là


(thỏa mãn)
Ta được các bộ
thỏa mãn là

Tương tự ta có các bộ

1.0

4.1. (1.0 điểm)




Tam giác
cân tại
, có
là đường cao nên là phân giác trong góc
, do đó

0.5



nên

Vậy tam giác
cân tại

0.5

4.2. (1.0 điểm)




0.5


Do đó,
Vậy
là tiếp tuyến chung của
và

0.5

4.3. (2.0 điểm)


Giả sử
cắt
tại
.
cân tại
có
nên
là đường trung trực của

1.0


Ta có
mà
do đó
Bốn điểm
thuộc một đường tròn.
Suy ra,
thuộc đường tròn ngoại tiếp
Do vậy,
trùng với
Vậy ba điểm
thẳng hàng.
1.0

4.4. (2.0 điểm)


Vì
và
nên
.
Ta có hai tam giác
đồng dạng nên

(*)
1.0


Dễ thấy
cân tại
nên
Thay vào (*) ta được
(**)
Đặt
ta có

Từ (**) suy ra
.
Từ đó tìm được

1.0

5.1. (1.5 điểm)





 Dựng tam giác
vuông cân tại
(
nằm khác phía đối với
).
Ta có
,
và
.
1.0


Do đó,
vuông tại

Nên

0.5

5.2. (1.5 điểm)


Gọi
là ba nghiệm của
ta có

Suy ra,

0.5


Do
vô nghiệm nên các phương trình
vô nghiệm.
Hay các phương trình
vô nghiệm



Do đó, các biệt thức tương ứng

Suy ra,

1.0


Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------