Cực hay đây các bạn ơi

phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số
A . Yêu cầu

A . một số Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D
a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiện sau đồng thời được thoả mãn
1o. f(x) ( M với ( x ( D
2o. Tồn tại x0 ( D sao cho f(x0) = M. kí hiệu là max f(x) = M
b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1o. f(x) ( m với ( x ( D
2o. Tồn tại x0 ( D sao cho f(x0) = m.
2. Các bước cơ bản tiến hành giải toán cực trị
- Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức:
f(x) ( m (hoặc f(x) ( M) với ( x ( D.
- Bước 2: Chỉ ra giá trị x0 ( D để:
f(x0) = m f(x0) = M)
- Bước 3 Kết luận: Với giá trị x0 ( D thì f(x) đạt:



Chú ý :
1 / Nếu chỉ chứng minh được f (x) ( m hoặc f(x) ( M thì chưa đủ để kết luận về GTLN hoặc GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = (x - 1)2 +(x-3)2
Giải : Ta có (x-1)2 ( 0 (x (1)
( x - 3 )2 ( 0 (2)
( A ( 0 (x nhưng không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và (2).
Ta có: f(x) = x2 - 2x + 1 + x2 -6x + 9 = 2 ( x2 - 4x + 2 ) = 2 ( x - 2 )2 + 2 ( 2
Vậy Min A = 2 ( x - 2 = 0 ( x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên

B. Phương pháp cơ bản và ví dụ
Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức
1.1. Nội dung phương pháp
+ Dùng bất đẳng thức đã biết vào chứng minh
f(x) ( m (hoặc f(x) ( M) với ( x ( D
+ Chỉ ra sự tồn tại x0 ( D để "bất đẳng thức" trở thành "đẳng thức" (dấu "=" xảy ra).
1.2. Kiến thức bổ sung
a) Bất đẳng thức cô si
+ Với a,b > 0, a,b ( D thì

Dấu = xảy ra khi a= b
+ Tổng quá: Với n số dương a1, a2, ..., an ( D
thì:

Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = ... = an.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopski
+ Nếu a1, a2, ..., an và b1, b2, ..., bn là 2n số tuỳ ý thì:


Dấu "=" xảy ra (
.
(Quy ước nếu ai = 0 thì bi = 0 i = 0, 1, 2, 3, ... n)
c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối
*.
( a ( D dấu bằng xảy ra ( a = 0
*
với a,b ( D dấu bằng xảy ra ( a.b ( 0.
Tổng quát : a1, a2, ..., an ( D thì

Dấu bằng xảy ra khi đôi một cùng dấu.
*.
dấu bằng xảy ra khi a.b ( 0
d) Với a ( b > 0 thì
dấu bằng xảy ra khi a = b.
e)
( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b.
1.3. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ