Cong thuc herong voi THCS

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********************************









“Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin và công thức đường trung tuyến trong tam giác”
****************************************











Trường thcs thạch kim
Họ và tên: phan đình ánh
Năm học: 2007 - 2008

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh
*********************************












“Dùng kiến thức thcs để chứng minh công thức hê rông,định lý hàm số côsin và công thức đường trung tuyến trong tam giác”
******************************











Hà tĩnh, ngày 20 tháng tháng năm 2008

I.Đặt vấn đề:
Chúng ta biết rằng công thức hê rông,định lý về hàm số côsin và công thức đường trung tuyến trong tam giác được đưa vào chương trình sách giáo khoa lớp 10 nhưng việc chứng minh lại nhờ vào công cụ véc tơ. Nhưng thực tế ta có thể chứng minh các công thức đó nhờ vào kiến thức THCS. Sau đây tôi xin trình bày cách chứng minh nhờ vào kiến thức THCS .
II.GIảI QUYếT VấN Đề:
Bài toán: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a.Các đường cao và các đường trung tuyến ứng với các đỉnh A,B,C lần lượt là hhhmmmS và p lần lượt là diện tích và nữa chu vi của tam giác ABC
Chứng minh:
a, S = (1)
b, b= a c- 2acCosB (2)
a= b c- 2bcCosA (3)
c= a b- 2abCosC (4) A
Bài giải:

h
x a - x
B H C

a, Giả sử: AH = hhình 1) khi đó ta có:
BC = BH + CH (*)
Đặt BH = x (0a).Từ (*) ta có: HC = a - x. áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ABH và ACH ta có hệ sau:
(I)
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ (I) ta có:
2ax - ac bx = (5)
Thay (5) vào phương trình đầu của hệ (I) ta được:
h+ c
h= (c + c -
=

Vì p là nữa chu vi của tam giác ABC nên a + b + c = 2p,a + b - c = 2(p - c),
a + c - b = 2(p - b),b + c - a = 2(p - a) . Do đó:
h= h= S =
Vậy công thức (1) đã được chứng minh.
Bằng cách thay đổi vai trò của a,b,c ta được:

h
h
Chú ý:Trường hợp điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC cũng chứng minh tương tự
Như vậy ta có thể tính được độ dài đường cao và diện tích của một tam giác thông qua đọ dàI 3 cạnh của một tam giác.
b, Giả sử trung tuyến AM = mA


hm

B C (hình2)
H M
*Trường hợp1:Tam giác ABC có hai góc
B và C đều nhọn
áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có:
AH+ CH