Chuyên đề VIET(Ngô Hưng)

A. MỞ ĐẦU

Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất hiện khá phổ biến . Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.
Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông
Nội dung chính của chuyên đề gồm :
Ứng dụng 1

Ứng dụng 2

Ứng dụng 3

Ứng dụng 4

Ứng dụng 5

Ứng dụng 6

Ứng dụng 7

Ứng dụng 8
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Lập phương trình bậc hai

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm



B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ :
ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a(0) (*)
Có hai nghiệm
;

Suy ra:



Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S =

- Tích nghiệm là P : P =

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ( a.12 + b.1 + c = 0 ( a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
và nghiệm còn lại là

b) Nếu cho x =
1 thì ta có (*) ( a.(
1)2 + b(
1) + c = 0 ( a
b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
và nghiệm còn lại là

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
(1) 2)
(2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
b + c = 0 nên có nghiệm
và

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
và

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2.

3.
4.

2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:
a) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :


T ừ
suy ra

b) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc


T ừ
suy ra

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
, ta giải hệ sau:

Suy ra

d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
. Suy ra


Với
th ì

Với
th ì


II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Ví dụ : Cho
;
lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
vậy
là nghiệm của phương trình có dạng:


Bài tập áp dụng:
1. x1 = 8 vµ x2 = -3
2. x1 = 3a vµ x2 = a
3. x1 = 36 vµ x2 = -104
4. x1 =
vµ x2 =

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình :
có 2 nghiệm phân biệt
. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
và

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:




Vậy phương trình cần lập có dạng:

hay

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình
có 2 nghiệm phân biệt
. Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
và

(Đáp số:
hay
)
2/ Cho phương trình :
có 2 nghiệm
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn
và
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số :
)
3/ Cho phương trình bậc hai:
có các nghiệm
. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
sao cho :
a)
và
b)
và

(Đáp số a)
b)
)

III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

(điều kiện để có hai số đó là S2
4P ( 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
3 và tích P = ab =
4
Vì a + b =
3 và ab =
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :

giải phương trình trên ta được
và

Vậy nếu a = 1 thì b =
4
nếu a =
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2
2. S =
3 và P = 6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x2
y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a
b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =
b ta có : a + c = 5 và a.c =
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :

Do đó nếu a =
4 thì c = 9 nên b =
9
nếu a = 9 thì c =
4 nên b = 4
Cách 2: Từ



*) Với
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

Vậy a =
thì b =

*) Với
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61


*) Nếu
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

Vậy nếu a =
thì b =
; nếu a =
thì b =

*) Nếu
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.


IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : (
) và

Ví dụ 1 a)

b)

c)

d)

Ví dụ 2

Ta biết

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1.
(
=…….)
2.
( =
=……. )
3.
( =
=…… )
4.
( =
= ……..)
Bài tập áp dụng
5.
6.
7.
8.

2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính
1.
(34) 2.


3.

4.
(46)
b) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính:
1.

2.


c) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính:
1.

2.
(138)
d) Cho phương trình :
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
(3) 2.
(1)
3.
(1) 4.


e) Cho phương trình
có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính


HD:


V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ( 0 và ( ( 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
có 2 nghiệm
. Lập hệ thức liên hệ giữa
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :


Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :


Rút m từ (1) ta có :

(3)
Rút m từ (2) ta có :

(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:


Ví dụ 2: Gọi
là nghiệm của phương trình :
. Chứng minh rằng biểu thức
không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :


Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

thay v ào A ta c ó:


Vậy A = 0 với mọi
và
. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình :
có 2 nghiệm
. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
sao cho
độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có


Từ (1) và (2) ta có:


2. Cho phương trình :
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa
và
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có


Từ (1) và (2) ta có:


VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ( 0 và ( ( 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình :

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
v à t ừ gi ả thi ết:
. Suy ra:


(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :

Ví dụ 2: Cho phương trình :
.
Tìm m để 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
là :






Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
và từ giả thiết
. Suy ra


Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :

Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình :

Tìm m để 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :

2. Cho phương trì