CHUYÊN ĐỀ VI-ET

A. MỞ ĐẦU

Trong một vài năm trở lại đây thì trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất hiện khá phổ biến . Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.
Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông
Nội dung chính của chuyên đề gồm :
Ứng dụng 1

Ứng dụng 2

Ứng dụng 3

Ứng dụng 4

Ứng dụng 5

Ứng dụng 6

Ứng dụng 7

Ứng dụng 8
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Lập phương trình bậc hai

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm



B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ :
ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a(0) (*)
Có hai nghiệm
;

Suy ra:



Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S =

- Tích nghiệm là P : P =

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ( a.12 + b.1 + c = 0 ( a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
và nghiệm còn lại là

b) Nếu cho x =
1 thì ta có (*) ( a.(
1)2 + b(
1) + c = 0 ( a
b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
và nghiệm còn lại là

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
(1) 2)
(2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
b + c = 0 nên có nghiệm
và

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
và

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2.

3.
4.

2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:
a) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :


T ừ
suy ra

b) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc


T ừ
suy ra

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
, ta giải hệ sau:

Suy ra

d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo