Chuyen de toan 9

PHẦN II: HÌNH HỌC
A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ YẾU
I. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU:
1. Chứng minh hai góc cùng bằng với góc thứ ba.
2. Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau.
3. Hai góc bằng với tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau.
4. Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với một góc thứ ba.
5. Hai góc cùng hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc.
6. Hai góc so le hoặc đồng vị.
7. Hai góc ở vị trí đối đỉnh.
8. Hai góc của tam giác cân, hình thang cân, hình bình hành.
9. Hai góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
10. Hai góc nội tiếp, hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung bằng nhau.
II. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU:
Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba.
Hai cạnh của tam giác cân, hình thang cân, hình bình hành.
Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
Hai dây trương hai cung bằng nhau.
III. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG:
Chứng minh chúng cùng song song hoặc vuông góc với đường thẳng thứ ba.
Chứng minh chúng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: Ở vị trí so le, đồng vị.
Chứng minh chúng tạo với một cát tuyến hai góc trong cùng bên bù nhau.
Là hai dây chắn giữa chúng là hai cung bằng nhau.
Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành.
IV. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:
Chứng minh chúng song song với hai đường thẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng thứ nhất song song với đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Chứng minh là đường cao và cạnh tương ứng trong cùng tam giác.
Đường kính qua trung điểm của dây không qua tâm và dây.
Phân giác hai góc kề bù.
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C lần lượt cắt d theo thứ tự ở D và E.
Tính góc DOE.
CM: DE = BD + CE.
CM: BD.CE = R2 (R là bán kính của đường tròn (O)).
CM: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M trên nửa đường tròn đã cho, vẽ tiểp tuyến thứ ba của đường tròn cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng:
CD = AC + BD.
MN // AC.
CD.MN = CM.DB.
Hỏi rằng, M ở vị trí nào trên nửa đường tròn thì tổng AC + BD có gía trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK.
Chứng minh: Bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn tâm O.
Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm ; BC = 24cm.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A;AH) đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh: Tam giác BEC là tam giác cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, chứng minh rằng AI = AH.
Chứng minh: BE là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH).
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE, DC lần lượt ở H, K.
Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp.
Tính góc CHK.
Chứng minh: KC.KD = KH.KB.
Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào?
Bài 6: Cho đường tròn (O:R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) ở điểm thứ 2 N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh:
Tứ giác OMNP