Chuyen de toan 8 BDHSG (đỉnh cao của toán học)

1. Chuyên đề : Đa thức
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
A =
tại x = 16.
B =
tại x = 14.
C =
tại x = 9
D =
tại x = 7.
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
M =

N =

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
A =
với x = 2;
.
M.N với
.Biết rằng:M =
; N =
.
Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5:
a.

b.

Bài 5: Tính giá trị của đa thức:

biết x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a.
; biết rằng 2x = a + b + c
b.
; biết rằng a + b + c = 2p
Bài 7:
Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3.
Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

;
;

Bài 9: Cho biểu thức: M =
. Tính M theo a, b, c, biết rằng
.
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
Rút gọn biểu thức 7A – 2B.
Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
Bài 12: Chứng minh rằng:
a.
chia hết cho 405.
b.
chia hết cho 133.
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,
, …
Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.

2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên

I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
(a ( b)2 = a2 ( 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

=
(a ( b)3 = a3 ( 3a2b + 3ab2 ( b3 = a3 ( b3 ( 3ab(a ( b);
(a ( b)4 = a4 ( 4a3b + 6a2b2 ( 4ab3 + b4 ;
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n – Tam giác Pascal
Đỉnh





1






Dòng 1 (n = 1)




1

1





Dòng 2 (n = 2)



1

2

1




Dòng 3 (n = 3)


1

3

3

1



Dòng 4 (n = 4)

1

4

6

4

1


Dòng 5 (n = 5)
1

5

10

10

5

1

 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1