Chuyên đề: Số chính phương

SINH HOẠT CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
TRƯỜNG THCS HUỲNH THỊ ĐÀO
Chào mừng quý thầy cô về tham dự
Vĩnh Thạnh, ngày 16/12/2010
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Giới thiệu
Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Chính vì vậy việc dạy học sinh giải bài tập là điều vô cùng quan trọng và trong đó đặc biệt chú trọng đến thực hành.Thực hành giải toán không chỉ là thực hiện các bài tập thực hành mà quan trọng là luyện tập rèn kỹ năng,vận dụng vào thực tế qua đó hình thành và phát triển cho học sinh tư duy lô gíc và phương pháp luận khoa học .
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
SIN H HOẠT CHUYÊN ĐỀ
ĐẶT VẤN ĐỀ
D? c� th? phât tri?n kh? nang tu duy vă sâng t?o trong vi?c h?c toân vă gi?i toân th� bín c?nh vi?c cung c?p cho h?c sinh ki?n th?c, ngu?i giâo viín c?n ph?i h�nh thănh vă cung c?p cho h?c sinh tri th?c phuong phâp d? gi�p h?c sinh c� kh? nang th�ch ?ng v?i nh?ng thay d?i n?i dung hay n�i m?t câch d�ng hon lă t?o d?ng cho h?c sinh phuong phâp h?c vă kh? nang phât tri?n m?t băi toân t? băi toân th�ng thu?ng nh?m m? r?ng kh? nang tu duy, t? d� t?o cho câc em nang l?c nghiín c?u vă h?ng th� t�m t�i trong vi?c h?c toân .
Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy hầu hết học sinh còn hạn chế trong việc khai thác, phát triển khả năng tư duy, khi đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng trong việc tìm lời giải, chưa có kinh nghiệm đúc kết các phương pháp và thường bị bó hẹp mang tính chất khuôn mẫu, năng lực phát triển mở rộng khai thác kiến thức thường rất hạn chế do đó khi gặp các bài toán đòi hỏi tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn thì chưa có khả năng đáp ứng được nhất là đối với các bài toán có liên quan đến số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
ĐẶT VẤN ĐỀ
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
ĐẶT VẤN ĐỀ
Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế nào? Giải quyết được vấn đề này không phải dễ dàng khi trong phân phối chương trình của môn toán THCS không có một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho HS những bài toán dạng này mà chúng chỉ xuất hiện một cách đơn lẻ. Điều này khiến chúng tôi luôn để tâm trong quá trình giảng dạy của mình và muốn trao đổi cùng đồng nghiệp .
2. Thực tế
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
ĐẶT VẤN ĐỀ
+ Với học sinh
Trong chương trình Toán THCS, các em đã được học về các bài toán liên quan tới phép chia hết của số tự nhiên và đặc biệt là được giới thiệu về số chính phương, đó là số bằng bình phương của một số tự nhiên. (VD: 0 ; 1 ; 4; 9 ; 16 ; 25 ; 100 ; 144 ; ...). Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải quyết bài toán chứng minh về số chính phương. Đây cũng là một cách củng cố các kiến thức mà các em đã được học. Những bài toán này sẽ làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em.
+ Với giáo viên
Qua trao đổi với các giáo viên nhóm Toán, chúng tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến số chính phương rất hay và quan trọng đối với các em học sinh trung học cơ sở. Đặc biệt là các em chưa thành thạo lắm với loại toán chứng minh số chính phương cho nên phương pháp để giải còn nhiều hạn chế. Do vậy chúng tôi muốn cùng các bạn đồng nghiệp “tháo gỡ” vấn đề này.
Sinh
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
ĐẶT VẤN ĐỀ
3. Phạm vi của chuyên đề
Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi muốn hướng dẫn các em học sinh giỏi toán một số phương pháp và bài tập về “Số chính phương”. Rất mong các đồng nghiệp cùng tham gia trao đổi nhằm rút ra một hướng đi chung nhất cho nội dung này, qua đó phần nào giúp cho HS huyện nhà có điểm tương đồng về trình độ cũng như nhận thức trên cùng một vấn đề.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Chuẩn bị
Trong quá trình giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, cần luôn bám sát kiến thức cơ bản, trọng tâm và lưu ý học sinh:
- Nắm vững định nghĩa số chính phương.
- Nắm vững kiến thức về phép chia hết và chia có dư trong N.
- Có kĩ năng tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa, biểu thức số.
- Có kĩ năng tách ( thêm, bớt ) số.
- Quan sát biểu thức một cách linh hoạt.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
NỘI DUNG
II. Hướng thực hiện
Theo định nghĩa, số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9. Ta xét bài toán sau:
Bài toán 1: Chứng minh rằng số:
A = 1234567891011121314151617181920212223.
Không phải là số chính phương.
Chứng minh một số không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Xét chữ số tận cùng
Giải:
Ta thấy số chính phương có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1; 4; 5; 6; 9. Mà A =1234567891011121314151617181920212223 có chữ số tận cùng là 3 nên A không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài toán 2:
Chứng minh rằng số:
B = 20072 + 20084 + 20096 – 2009
Không phải là số chính phương.
Giải:
Ta dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 20072 ; 20084 ; 20096 lần lượt là 9 ; 6 ; 1 . Do đó số B có chữ số tận cùng là 7 (khác 0; 1; 4; 5; 6; 9) nên số B không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
2. Sử dụng phép chia hết
Bài toán 3
Chứng minh rằng số 12345678910 không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. Khi đó chúng ta phải lưu ý:
Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2. Ta có bài toán 3
Giải:
Chú ý: Có thể lí luận số 12345678910 chia hết cho 2 ( vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 4 (vì 2 chữ số tận cùng tạo thành số 10 không chia hết cho 4). Do đó số 12345678910 không phải là số chính phương.
Như vậy, ta có thể khẳng định: "Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2"
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Ta thấy ngay số 12345678910 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì 2 chữ số tận cùng tạo thành số 10 không chia hết cho 25). Do đó số 12345678910 không phải là số chính phương.
Bài toán 4:
Chứng minh rằng số có tổng các chữ số là 2010 thì số đó không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Giải:
Ta thấy tổng các chữ số của số 2010 là 3 nên số 2010 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2010 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
Sinh hoạt chuyên đề
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Ngoăi ra, n?u ta d? � m?t ch�t th� khi phđn t�ch ra th?a s? nguyín t?, s? ch�nh phuong ch? ch?a câc th?a s? nguyín t? v?i s? mu ch?n, kh�ng ch?a th?a s? nguyín t? v?i s? mu l?. Ch�nh v� th?, n?u khai thâc nh?n xĩt trín, ta c� phât bi?u t?ng quât sau:
Nếu số chính phương chia hết cho pn (với p là số nguyên tố, n lẻ) thì phải chia hết cho pn+1.
Nhờ đó ta sẽ giải quyết được bài toán khó sau:
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
Sinh hoạt chuyên đề
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Băi toân 5:
Ch?ng minh r?ng s?
M = 332007 + 552008 + 772009 kh�ng ph?i lă s? ch�nh phuong.
Phân tích: Nếu xét chữ số tận cùng thì M có tận cùng là 9 nên hướng làm này không thực hiện được. Nhưng ta để ý một chút thì ta sẽ chứng minh được M chia hết cho 112007 và M không chia hết cho 112008. Từ đó ta kết luận được M không phải là số chính phương (Dựa vào phát biểu tổng quát trên).
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
Sinh hoạt chuyên đề
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Nhận xét:
Ta đặt vấn đề nếu ở bài toán 4 tổng các chữ số không chia hết cho 3 (chẳng hạn là 2011) thì ta làm như thế nào ? Khi đó chúng ta phải nghĩ tới điều gì ? Vì bài toán cho tổng các chữ số nên chắc chắn chúng ta phải nghĩ tới phép chia cho 3 hoặc cho 9. Vậy ta nghĩ tới việc xét số dư khi chia số đó cho 3. Như vậy số chính phương chia cho 3 có thể dư bao nhiêu ? Chúng ta có thêm phương pháp nữa để giải loại toán này.
3. Xét số dư của số chính phương khi chia cho một số
Bài toán 6:
Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2011 không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Giải: Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 (ta dễ dàng chứng minh được). Do tổng các chữ số của số đó là 2011 chia cho 3 dư 2 nên số có tổng các chữ số là 2011 chia cho 3 cũng dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.
Tương tự chúng ta có các bài tập sau:
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
Sinh hoạt chuyên đề
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Băi toân 7
Ch?ng minh t?ng câc s? t? nhiín liín ti?p t? 2 d?n 2007 kh�ng ph?i lă s? ch�nh phuong.
Hu?ng d?n:
T�nh t?ng b?ng 2015027 chia cho 3 du 2.
Bài toán 8: Chứng minh số:
D = 20102007 + 20102008 + 20102009 + 5 không phải là số chính phương.
Hướng dẫn:
20102007 ; 20102008 ; 20102009 đều chia hết cho 3 và 5 chia cho 3 dư 2 => D chia cho 3 dư 2.
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Nếu số ta đang xét chia cho 3 dư 1 thì hướng giải quyết như thế nào?
Ta có bài toán sau:
Bài toán 9: Chứng minh số:
M = 4444 + 444444 + 44444444  + 2011 không phải là số chính phương.
* Nhận xét: Ở bài này ta không thể làm tương tự các bài trên được. Vậy ta có thể xét số dư của M khi chia cho 4 , số dư đó là 3. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ có số dư như thế nào? Chúng ta có thể chứng minh được ngay là dư 0 hoặc dư 1. Như vậy việc giải bài toán này không có gì khó.
4. Sử dụng phương pháp kẹp:
Để chứng minh một số không là số chính phương, ta còn có thể chứng minh cho số đó nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. Tức là:
Với n và x là hai số tự nhiên mà n2 < x < (n+1)2 thì x không thể là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài toán 10: Chứng minh rằng số 4025025 không là số chính phương.
*Nhận xét: Số 4025025 có 2 chữ số tận cùng là 25, chia hết cho 3, cho 9 và chia cho 4 dư 1 nên ta không thể làm tương tự các bài trên được. Vậy phải tìm hướng làm khác
Giải
Ta có: 20062 = 4024036; 20072 = 4028049
=> 20062 <4025025 < 20072
Như vậy giữa 2 số 20062 và 20072 không còn số chính phương nào.Chứng tỏ 4025025 không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài toán 11: Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp (khác 0) không là số chính phương.
Giải:
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n ; n+1 (n  N*)
Ta có : n2 < n(n+1) < (n+1)2
=> n(n+1) không là số chính phương.
1. Xét chữ số tận cùng
Bài toán 1: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. (Bài toán này các em gặp ở lớp 8)
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Giải:
Gọi A là số chính phương có tận cùng là 5
=> A có dạng a52
Ta có A = a52 = ( 10a + 5 )2 = 100a2 + 100a +25
Vì chữ số hàng chục của 100a2 và 100a là 0 nên chữ số hàng chục của A là 2.
1. Xét chữ số tận cùng
Bài toán 2: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là một số lẻ.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Giải: Gọi M = a2 Vì M có chữ số tận cùng là 6 nên a có chữ
số tận cùng là 4 hoặc 6
- Nếu a có số tận cùng là 4 , khi đó a có dạng b4
Ta có: b42 = ( 10b + 4 )2 = 100b2 + 80b + 16
+ Vì chữ số hàng chục của 100b2 và 80b là số chẵn nên
chữ số hàng chục của M là số lẻ.
- Nếu a có tận cùng là 6 , khi đó a có dạng b6
Ta có: b62 = (10b + 6)2 = 100b2 + 120b + 36
Lập luận như trên, ta có chữ số hàng chục của M là số lẻ.
2. Dựa vào định nghĩa
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài toán 3: Chứng minh rằng số :
là số chính phương.
Giải: Ta biến đổi như sau:


Dễ thấy, số cuối cùng là bình phương của số nguyên nên số đã cho là số chính phương
3. Dựa vào tính chất đặc biệt
Ta có thể chứng minh một tính chất rất đặc biệt: “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số chính phương thì a và b đều là các số chính phương”
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài toán 4
C/m rằng: Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 3m2 + m = 4n2 + n thì m- n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương
3. Dựa vào tính chất đặc biệt
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Giải
Ta có 3m2 + m = 4n2 + n 4(m2 – n2) + (m-n) = m2
hay (m-n)(4m+4n+1) = m2 (*)
Gọi d là ƯCLN của m – n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m-n) = 8m +1 chia hết cho d (**)
Mặt khác từ (*) ta có m2 chia hết cho d2 nên m chia hết cho d. Kết hợp với (**) suy ra 1chia hết cho d. Vậy d = 1
Theo tính chất nêu trên thì m-n và 4m+4n+1 đều là các số chính phương
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
C/M MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Ngoài các phương pháp đã nêu trên, chúng ta còn có thể sử dụng một tính chất mà học sinh đã gặp ở lớp 6: “Số tự nhiên lớn hơn 0 là số chính phương khi và chỉ khi số ước của nó là số lẻ” (Quí thầy cô tự cho bài toán ví dụ)
Để kết thúc chuyên đề này, chúng tôi đưa ra một số bài toán vận dụng các nội dung trên để quí thầy cô nghiên cứu tham khảo.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không phải là số chính phương.
A = 12345678910111213141516171819202122
B = 246810121416182022242628
Bài 2: Chứng minh rằng tích bốn số tự nhiên liên tiếp không phải là số chính phương.
Bài 3: C/minh rằng tổng bình phương 4 số tự
nhiên liên tiếp không phải là số chính phương.
Bài 4: C/minh rằng số 333333 + 555555 + 777777 không phải là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 5: Có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm 4 mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không?
Bài 6: C/minh A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số
chính phương.
Bài 7: Cho số A gồm 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số 4. CMR: A + B + 1 là số chính phương.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
KẾT LUẬN
Lời kết:
Ta biết rằng kiến thức là mênh mông, là vô tận. Riêng đề tài này cũng là một nội dung mở, do đó còn rất nhiều điều cần phải bổ sung, chỉnh sửa. Rất mong các đồng nghiệp cùng trao đổi để nội dung này hoàn thiện và mang lại tính thực tiễn trong quá trình dạy học. Xin chân thành cảm ơn sự theo dõi của quí thầy cô.
Sinh hoạt chuyên đề
Trường THCS Huỳnh Thị Đào
YÊU CẦU THẢO LUẬN
THẢO LUẬN THEO NHÓM
NỘI DUNG
1) Nhận xét về nội dung kiến thức
2) Khả năng vận dụng và đối tượng áp dụng
3) Những khó khăn có thể gặp, hướng giải quyết
4) Bổ sung phương pháp khác.