Chuyên Đề Quỹ Tích

i.C¸c bµi to¸n t×m tËp hîp ®iÓm

Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ tam gi¸c c©n ABC cã AB = AC néi tiÕp ®­êng trßn (O; R) KÎ ®­êng kÝnh AI. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá AC. Mx lµ tia ®èi cña tia MC. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm D sao cho MD = MC.
a) Chøng minh r»ng MA lµ tia ph©n gi¸c cña cña gãc BMx.
b) Gäi K lµ giao thø hai cña ®­êng th¼ng DC víi ®­êng trßn (O). Tø gi¸c MIKD lµ h×nh g×? v× sao?
c) Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c MDK. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn cung nhá AC th× G lu«n n»m trªn mét ®­êng trßn cè ®Þnh.
d) Gäi N lµ giao ®iÓm thø hai cña ®­êng th¼ng AD víi ®­êng trßn (O). P lµ giao ®iÓm thø hai cña ph©n gi¸c gãc IBM víi ®­êng trßn. Chøng minh r»ng, ®­êng th¼ng DP lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di ®éng trªn cung nhá AC.

H­íng dÉn:
a) Gãc AMB = (1/2)s®AB (gãc néi tiÕp (O) ch¾n AB )
Gãc AMx = 180®é - Gãc AMC = 180®é - (1/2)s®cungABC = (1/2)s®cungAC =(1/2)s®cungAB
vËy: Gãc AMB = Gãc AMx hay MA lµ tia ph©n gi¸c cña Gãc BMx
b) +Tam gi¸c MCD c©n => Gãc MCD = Gãc MDC = (1/2)Gãc BMC ( gãc ngoµi cña tam gi¸c)
l¹i cã Tam gi¸c ABC c©n => I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC => Gãc IMC = Gãc IMB = (1/2)Gãc BMC
vËy Gãc MCD = Gãc IMC => IM song song víi CD
+ Gãc MCD = Gãc MDC = Gãc BMI => BI = MK =>Gãc MIK = Gãc IMB => IK song song víi MD
VËy MIKD lµ h×nh b×nh hµnh.
c) D thuéc ®­êng trßn (A; AC)
Gäi N lµ ®iÓm trªn AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD = (2/3)AC = hs
=> G thuéc ®­êng trßn (N; (2/3)AC)
----------------------------

Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC ngo¹i tiÕp ®­êng trßn (O; R). Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC kh«ng chøa A. VÏ ®­êng trßn qua D vµ tiÕp xóc víi AB t¹i B. VÏ ®­êng trßn qua D vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. Gäi E lµ giao ®iÓm thø hai cña hai ®­êng trßn nµy.
a) Chøng minh 3 ®iÓm B, C, E th¼ng hµng.
b) Mét ®­êng trßn t©m K di ®éng lu«n ®i qua A vµ D, c¾t AB, AC theo thø tù t¹i M vµ N. Chøng minh r»ng BM = CN.
c) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN.












H­íng dÉn:
a) + gãc BED = gãc DBx = gãc ACB
+ gãc CED = gãc DCy = gãc ABD
=> gãc BEC = gãcABD + gãcACD = 180 ®é.
=> B, E, C th¼ng hµng.
b) cung BD = cung DC => gãc BAD = gãc CAD => cung DN = cung DM
=> DM = DN
cung BD = cung DC => DB = DC
gãc DCN = gãc DBM
=> Tam gi¸c BMD = tam gi¸c CND => BM = CN.
c) TÝnh ®­îc DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs
K thuéc trung trùc cña AD => I thuéc ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AD c¾t AD t¹i P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2)
-----------------------------------

Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. C¸c ®iÓm M, N theo thø tù chuyÓn ®éng trªn c¸c c¹nh AB, AC sao cho AM = CN.
a) Chøng minh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh kh¸c A.
b) T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN.




H­íng dÉn:
a) §­êng cao AH c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN t¹i P
=> tam gi¸c AMP = tam gi¸c CNP => PA = PC
=> P lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC => P cè ®Þnh.
b) T©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN n»m trªn ®­êng trung trùc cña AP.
------------------------------

Bµi 4. T×m quü tÝch ®Ønh C c¸c tam gi¸c ABC cã AB cè ®Þnh, ®­êng cao BH b»ng c¹nh AC.






H­íng dÉn:
KÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i A, trªn ®ã lÊy E sao cho AE = AB
=> tam gi¸c ACE = tam gi¸c BHA
=> gãc ACE = 90 ®é => C thuéc cung chøa gãc 90 ®é dùng trªn AE.


Bµi 5: Tø gi¸c låi ABCD cã AC cè ®Þnh, gãc A =450, gãc B = gãc C = 900.
a) Chøng minh r»ng BD cè ®é dµi kh«ng ®æi.
b) Gäi E lµ giao cña BC vµ AD, F lµ giao cña DC vµ AB. Chøng minh EF cã ®é dµi kh«ng ®æi.
c) T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF.






H­íng dÉn:
a) gãc B = gãc D = 90 ®é => B, D thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AC
gãc A = 45 ®é => BD = R
= hs.
b) Tam gi¸c CDE vu«ng c©n => CD = ED
tam gi¸c ADF vu«ng c©n => DA = DF
=>Tam gi¸c ACD = tam gi¸c FED
=> EF = AC = hs
c) Trung trùc cña AF c¾t trung trùc cña AE t¹i J, c¾t (O) t¹i H vµ I
=> H, I lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña hai cung AC => H, I cè ®Þnh.
gãc HJI = gãc BCD = 135 ®é
=> J thuéc cung chøa gãc 135 ®é dùng trªn HI.
----------------------------------

Bµi 6: Cho ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn ®o¹n AB. Dùng vÒ cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ ®­êng th¼ng AB c¸c h×nh vu«ng AMDE, MBGH. Gäi O, O` t­¬ng øng lµ t©m c¸c h×nh vu«ng trªn.
a) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n OO`.
b) Chøng minh r»ng AH vµ EG ®i qua giao ®iÓm N kh¸c M cña c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c h×nh vu«ng AMDE vµ MBGH.
c) Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

Bµi 7: Cho hai ®­êng trßn (O; R) vµ (O`; R`) c¾t nhau t¹i A vµ D cã c¸c ®­êng kÝnh AOB vµ AO`C vu«ng gãc víi nhau t¹i A. Mét ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t c¸c nöa ®­êng trßn kh«ng chøa ®iÓm D cña (O), (O`) t­¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm M, N kh¸c A.
a) Chøng minh tam gi¸c ABM vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng.
b) T×m quü tÝch giao ®iÓm P cña OM vµ O`N khi d di ®éng.
c) TiÕp tuyÕn M cña (O) c¾t AD t¹i I. Chøng minh r»ng: IM2 = IA. ID.
d) T×m vÞ trÝ cña c¸t tuyÕn d ®Ó cho tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O`) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng AD.
d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d sao cho tø gi¸c MNCB cã diÖn tÝch lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã theo R vµ R`.


H­íng dÉn
a) Tam gi¸c AMB vµ tam gi¸c CAN ®ång d¹ng
b) gãc PMA + gãc PNA = gãc OAM + gãc O`AN = 90 ®é
=> gãc OPO` =90 ®é => P thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh OO`
c) Tam gi¸c IMA vµ tam gi¸c IDM ®ång d¹ng
=> IM2 = IA.ID
d) t­¬ng tù c©u c gi¶ sö tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O`) c¾t AD t¹i I` => I`M2 = I`A.I`D . VËy I trïng I` <=> IM = I`N <=> I thuéc trung trùc cña NM
VËy khi I lµ giao cña AD vµ trung trùc cña MN th× tiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) vµ tiÕp tuyÕn t¹i N cña (O`) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng AD.
e) diÖn tÝch Tø gi¸c BMNC lín nhÊt <=> (SBMA +SANC)min <=> (SBMA)min <=> (BM.AM)min l¹i cã: BM2 + AM2 = R2 vËy: BM.AM
dÊu b»ng khi BM = AM <=> d t¹o víi AB mét gãc 45 ®é
Khi ®ã diÖn tÝch tø gi¸c BMNC lµ:
.


Bµi 8: Mét ®iÓm A ®i ®éng trªn nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh BC cè ®Þnh. §­êng th¼ng qua C song song víi BA c¾t ®­êng ph©n gi¸c ngoµi cña gãc BAC cña tam gi¸c ABC t¹i D. T×m quü tÝch D.











H­íng dÉn
AD c¾t (O) t¹i E => E cè ®Þnh
l¹i cã gãc CDE = 45 ®é
VËy D thuéc cung chøa gãc 45 ®é dùng trªn CE.


Bµi 9: Cho ®­êng trßn (O; R) cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng d c¾t (O; R) t¹i hai ®iÓm A, B cè ®Þnh. Mét ®iÓm M di ®éng trªn d vµ ë bªn ngoµi ®o¹n AB. VÏ c¸c tiÕp tuyÕn MP vµ MN víi (O; R). Gäi N, P lµ hai tiÕp ®iÓm.
a) Chøng minh r»ng khi M di ®éng, ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP lu«n ®i qua hai ®iÓm cè ®Þnh.
b) T×m quü tÝch t©m I cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MNP.
c) Tr×nh bµy c¸ch dùng ®iÓm M sao cho tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu.


H­íng dÉn:
a) Gi¶ sö (I) c¾t AB t¹i H kh¸c M => gãc OHM = 90 ®é => HA = HB hay H cè ®Þnh. VËy (I) ®i qua O vµ H cè ®Þnh.
b) IO = IH => I thuéc trung trùc cña OH.
c) Tam gi¸c MNP ®Òu <=> gãc OMN = 30 ®é <=> OM = 2ON = 2R VËy M thuéc (O; 2R)




Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh. Mét ®iÓm I di ®éng trªn c¹nh AB (I kh¸c A vµ B). Tia DI c¾t tia CB t¹i E. §­êng th¼ng CI c¾t ®­êng th¼ng AE t¹i M. §­êng th¼ng BM c¾t ®­êng th¼ng DE t¹i F. T×m quü tÝch ®iÓm F.

H­íng dÉn:
Trªn BC lÊy G sao cho AI = BG => AI v«ng gãc víi ED
¸p dông ®Þnh lÝ Meleneut trong tam gi¸c AEB víi 3 ®iÓm th¼ng hµng C, I, M cã

l¹i cã
thay vµo (1) =>
=> MB song song víi AG hay gãc DFB vu«ng
VËy F thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD ( cung nhá AB ).


Bµi 11: Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn ®­êng trßn. §iÓm M l­u ®éng trªn tiÕp tuyÕn xy t¹i A cña (O; R). Qua M vÏ tiÕp tuyÕn thø hai víi (O; R). Gäi tiÕp ®iÓm lµ B.
a) T×m quü tÝch t©m c¸c ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB.
b) T×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c AMB.






H­íng dÉn:
a) §­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMB lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OM
=> E thuéc trung trùc cña OA
b) Tø gi¸c AOBH lµ h×nh thoi => AH = R. VËy H thuéc ®­êng trßn (A; R) ( thuéc nöa mÆt ph¼ng bê xy chøa B)


Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. §­êng ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®­êng trßn t¹i ®iÓm D. Mét ®­êng trßn (L) thay ®æi nh­ng lu«n ®i qua hai ®iÓm A vµ D. (L) c¾t hai ®­êng th¼ng AB, AC ë giao ®iÓm thø hai lµ M, N (cã thÓ trïng víi A).
a) Chøng minh r»ng: BM = CN.
b) T×m quü tÝch trung ®iÓm K cña MN.

H­íng dÉn:
a) gãc BAD = gãc DAN => DB = DC; DM = DN
l¹i cã gãc MBD = gãc NCD; gãc BMD = gãc NCD => gãc BDM = gãc CDN
vËy tam gi¸c BDM = tam gi¸c CDN => BM = CN.
b) T­¬ng tù c©u c bµi 2


Bµi 13: Cho gãc vu«ng xOy. Mét chiÕc ªke ABC tr­ît trong mÆt ph¼ng cña gãc xOy sao cho ®Ønh B di chuyÓn trªn c¹nh Ox, ®Ønh C di chuyÓn trªn c¹nh Oy vµ ®Ønh gãc vu«ng A di chuyÓn trong gãc xOy. T×m quü tÝch ®iÓm A.


H­íng dÉn:

Tø gi¸c OBAC néi tiÕp => gãc yOA = gãc CBA =

VËy A thuéc tia t¹o víi tia Oy mét gãc
( phÇn n»m trong gãc xOy )

Bµi 14: Cho ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R vµ mét ®iÓm P cè ®Þnh ë ngoµi ®­êng trßn. VÏ tiÕp tuyÕn PA vµ c¸t tuyÕn PBC bÊt k× (A, B, C trªn (O; R)). Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Khi c¸t tuyÕn PBC quay quanh P.
a) T×m quü tÝch ®iÓm ®èi xøng cña O qua BC.
b) T×m quü tÝch ®iÓm H.


H­íng dÉn:
a) ta cã PO` = PO = hs; P cè ®Þnh => O` thuéc ®­êng trßn ( P; PO)
b) Tø gi¸c OO`HA lµ h×nh b×nh hµnh vÏ h×nh b×nh hµnh AOPK => K cè ®Þnh. => HO`PK còng lµ h×nh b×nh hµnh => HK = O`P = OP = hs. VËy H thuéc ®­êng trßn (K; OP).

Bµi 15: Cho h×nh vu«ng ABCD cã t©m O. VÏ ®­êng th¼ng d quay quanh O c¾t hai c¹nh AD vµ BC lÇn l­ît t¹i E vµ F ( E vµ F kh«ng trïng víi c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng). Tõ E, F lÇn l­ît vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi DB, AC chóng c¾t nhau t¹i I.
a) T×m quü tÝch I.
b) Tõ I vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi EF t¹i H. Chøng tá H thuéc mét ®­êng cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng IH ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

Bµi 16: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm P di ®éng trªn c¹nh BC. VÏ PQ song song víi AC ( Q thuéc AB), vÏ PR song song víi AB ( R thuéc AC). T×m quü tÝch c¸c ®iÓm D ®èi xøng víi P qua QR.

Bµi 17: Cho gãc vu«ng xOy. C¸c ®iÓm A vµ B t­¬ng øng thuéc tia Ox, Oy sao cho OA = OB. Mét ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ c¾t OB t¹i M n»m gi÷a O vµ B. Tõ B h¹ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AM c¾t AM t¹i H vµ c¾t ®­êng th¼ng OA t¹i