CHUYÊN ĐỀ PP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC

Bất đẳng thức , bất phương trình ,cực trị đại số
- Bất đẳng thức
1. Kiến thức cần nhớ
a) Định nghĩa : Cho hai số a và b ta có a > b
a – b > 0
b) Một số bất đẳng thức cơ bản :
01) Các bất đẳng thức về luỹ thừa và căn thức :

với A là một biểu thức bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

;
; dấu bằng xảy ra khi A = 0

Với

dấu bằng xảy ra khi có ít nhất 1 trong hai số bằng không

với
dấu bằng xảy ra khi B = 0
02) Các bất đẳng thứcvề giá trị tuyệt đối

Với A bất kỳ , dấu bằng xảy ra khi A = 0

dấu bằng xảy ra khi A và cùng dấu

Dấu bằng xảy ra khi A và B cùng dấu và A> B
03) Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) :
- Cho các số

( Trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của chúng )
Dấu bằng xảy ra khi

- Bất đẳng thức Côsi cho hai số có thể phát biểu dưới các dạng sau :

Với a và b là các số không âm

Với a và b là các số bất kỳ

Với a và b là các số bất kỳ
Dấu bằng xảy ra khi a = b
04) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (Còn gọi là bất đẳng thức Côsi – Svac ) :
- Cho hai bộ các số thực:
và
.
Khi đó :

Dấu bằng xảy ra khi :
- Hoặc
với ai , bi khác 0 và nếu
thì
tương ứng cũng bằng 0
- Hoặc có một bộ trong hai bộ trên gồm toàn số không
- Bất đẳng thức Côsi – Svac cho hai cặp số :

Dấu bằng xảy ra khi ay = bx
05) Bất đẳng thức
Với x > 0 ;
Với x < 0
c) Các tính chất của bất đẳng thức :
01) Tính chất bắc cầu : Nếu a > b và b > c thì a > c
02 ) Tính chất liên quan đén phép cộng :
Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số : Nếu a> b thì a +c > b+ c
Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : Nếu a > b và c > d thì a+c > b +d
03 ) Trừ hai bất đẳng thức ngược chiều : Nếu a > b và c < d thì a – c > b – d
04 ) Các tính chất liên quan đến phép nhân :
- Nhân 2 vế của bất đẳng thức với một số
Nếu a >b và c > 0 thì ac > bc
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
- Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều
Nếu a > b >0 và c > d > 0 thì ac > bd
Nếu a < b < 0 và c < d < 0 thì ac > bd
Luỹ thừa hai vế của một bất đẳng thức :

Với mọi


Với mọi


Với mọi

0 < a < 1
Với n > m
a > 1
Với n > m
2. Một số điểm cần lưu ý :
- Khi thực hiện các phép biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức , không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều hoặc nhân chúng khi chưa biết rõ dấu của hai vế . Chỉ được phép nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một biểu thức khi ta biết rõ dấu của biểu thức đó
- Cho một số hữu hạn các số thực thì trong đó bao giờ ta cũng chọn ra được số lớn nhất