Chuyên đề Phương trình bậc 2

Ph­¬ng tr×nh bËc hai & hÖ thøc Vi-Ðt
Bµi tËp 1 : §Þnh gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh


Cã mét nghiÖm x = - 5 . T×m nghiÖm kia.
Bµi tËp 2 : Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
§Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm b»ng 1? T×m nghiÖm kia.
Bµi tËp 3 : Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
§Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm gÊp 3 lÇn nghiÖm kia? T×m c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh trong tr­êng hîp nµy.
Bµi tËp 4 : Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
m = ? th× (1) cã nghiÖm lµ x =
.
m = ? th× (1) cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 5 : Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi m.
m =? th× (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu .
Gi¶ sö
lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) CMR : M =
kh«ng phô thuéc m.
Bµi tËp 6 : Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Chøng minh (1) cã nghiÖm víi mäi m.
§Æt M =
(
lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)). T×m min M.
Bµi tËp 7: Cho 3 ph­¬ng tr×nh


Chøng minh r»ng trong 3 ph­¬ng tr×nh Ýt nhÊt mét ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
Bµi tËp 8: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Chøng minh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊuvíi mäi a.

lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) . T×m min B =
.
Bµi tËp 9: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Chøng minh (1) cã hai nghiÖm víi mäi a.
a = ? th× (1) cã hai nghiÖm
tho¶ m·n
.
a = ? th× (1) cã hai nghiÖm
tho¶ m·n
= 6.


Bµi tËp 10: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
m = ? th× (1) cã hai nghiÖm
tho¶ m·n
.
Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiÖm d­¬ng.
T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a
kh«ng phô thuéc m.
Gîi ý: Gi¶ sö (1) cã hai nghiÖm d­¬ng -> v« lý
Bµi tËp 11: Cho hai ph­¬ng tr×nh


T×m m vµ n ®Ó (1) vµ (2) t­¬ng ®­¬ng .
Bµi tËp 12: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm kia lµ

Bµi tËp 13: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
tho¶ m·n
.
T×m mét hÖ thøc gi÷a
®éc lËp víi m.
Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m.
T×m m ®Ó ph­ong tr×nh cã hai nghiÖm ®èi nhau .
T×m mét hÖ thøc gi÷a
®éc lËp víi m.
Bµi tËp 15: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp.
Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
. T×m mét hÖ thøc gi÷a
®éc lËp víi m.
TÝnh theo m biÓu thøc
 ;
T×m m ®Ó A = 2.

Bµi tËp 16: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
CMR ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi .
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
.
T×m c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®Òu lµ nghiÖm nguyªn.
Bµi tËp 17: Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph­¬ng tr×nh
cã hai nghiÖm h¬n kÐm nhau
mét ®¬n vÞ.




Bµi tËp 18: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt.
c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ©m.
Bµi tËp 19: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
CMR ph­¬ng r×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
Gäi
lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . TÝnh
theo m.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm
tho¶ m·n
= 5.
Bµi tËp 20: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -3.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm vµ tÝch hai nghiÖm ®ã b»ng 4. T×m hai nghiÖm ®ã .
Bµi tËp 21: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
to¶ m·n
.
Bµi tËp 22: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 2.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt .
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
tho¶ m·n
.
Bµi tËp 23: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 5.
CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi m.
TÝnh A =
theo m.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ®èi nhau.
Bµi tËp 24: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai.
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m =
.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh«ng ©m.
Bµi tËp 25: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi p =
; q =
.
T×m p , q ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm :

CMR : nÕu (1) cã hai nghiÖm d­¬ng
th× ph­¬ng tr×nh
cã hai nghiÖm d­¬ng

LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm lµ
;
vµ
;
vµ

Bµi tËp 26: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiªm ph©n biÖt víi mäi m.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n :
;
T×m m ®Ó
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi tËp 27: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -6.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm
. T×m GTNN cña biÓu thøc

Bµi tËp 28: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm
. H·y tÝnh nghiÖm nµy theo nghiÖm kia.
Bµi tËp 29: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
T×m m ®Ó (1) cã hai nghiÖm
ph©n biÖt tho¶ m·n

Bµi tËp 30: Cho ph­¬ng tr×nh

cã 3
= 16n.
CMR hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh , cã mét nghiÖm gÊp ba lÇn nghiÖm kia.
Bµi tËp 31 : Gäi
lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh , h·y tÝnh : a)
; b)
; c)
d)

Bµi tËp 32 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng :
a)
vµ 2
; b) 2 -
vµ 2 +
.
Bµi tËp 33 : CMR tån t¹i mét ph­¬ng tr×nh cã c¸c hÖ sè h÷u tû nhËn mét trong c¸c nghiÖm lµ :
a)
; b)
; c)

Bµi tËp 33 : LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm b»ng :
B×nh ph­¬ng cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh
;
NghÞch ®¶o cña c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

Bµi tËp 34 : X¸c ®Þnh c¸c sè m vµ n sao cho c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh

còng lµ m vµ n.
Bµi tËp 35: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = -1.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt , trong ®ã mét nghiÖm b»ng b×nh phu¬ng nghiÖm cßn l¹i.


Bµi tËp 36: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
TÝnh
( Víi
lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh)
Bµi tËp 37: Cho ph­¬ng tr×nh

(1)
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc kho¶ng ( -1; 0 ).
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
tho¶ m·n

Bµi tËp 38 : Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số).
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm.
Bµi tËp 39:
T×m c¸c gi¸ rÞ cña a ®Ó ptr×nh :


NhËn x=2 lµ nghiÖm .T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ?
Bµi tËp 40 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m trong ph­¬ng tr×nh bËc hai :


®Ó 4 +
lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Víi m võa t×m ®­îc , ph­¬ng tr×nh ®· cho cßn mét nghiÖm n÷a . T×m nghiÖm cßn l¹i Êy?
Bµi tËp 41: Cho ph­¬ng tr×nh :
(1) , (m lµ tham sè).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -5.
Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm
ph©n biÖt mäi m.
T×m m ®Ó
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (
lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn 2/ ) .
Bµi tËp 42: Cho phương trình

1. Giải phương trình khi b= -3 và c=2 2. Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
Bµi tËp 43: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số.
a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2. c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bµi tËp 44:
Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 – 3 = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m =

2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt
Bµi tËp 45: Cho ph­¬ng tr×nh ( Èn x) : x2 - 2mx + m2 –
= 0 (1)
1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm cña ptr×nh cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng nhau
2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm vµ c¸c nghiÖm Êy lµ sè ®o cña 2 c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng 3.
Bµi tËp 46: LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ:

vµ

TÝnh : P =


Bµi tËp 47: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh :
cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt.

Bµi tËp 48: Cho hai ph­¬ng tr×nh sau :
( x lµ Èn , m lµ tham sè )
T×m m ®Ó hai ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm chung.

Bµi tËp 49:
Cho ph­¬ng tr×nh :
víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tr­íc
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho kho m = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm d­¬ng
ph©n biÖt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

Bµi tËp 50: Cho ph­¬ng tr×nh :

( x lµ Èn ; m lµ tham sè ).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = -

CMR ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m.
T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia.
Bµi tËp 52: Cho ph­¬ng tr×nh x2 + x – 1 = 0 .
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu .
b) Gäi
lµ nghiÖm ©m cña ph­¬ng tr×nh . H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :


Bµi tËp 53: Cho ph­¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: