Chuyên Đề Nghiệm Nguyên

CHUYÊN ĐỀ NGHIỆM NGUYÊN

SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.

Định lí 1: Phương trình
với các hệ số nguyên và
nếu có nghiệm nguyên x0 thì c chia hết cho x0.

Định lí 2: Phương trình
với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
là bình phương của một số nguyên.

Định lí 3: Phương trình hệ số nguyên
có nghiệm nguyên khi và chỉ khi
là bình phương của một số nguyên.
Một số ví dụ:
1). Tìm mọi số nguyên x sao cho x2 + 28 là số chính phương.
Giải:
Từ phương trình x2 + 28 = y2 (1) thì x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Đặt y = x + 2v với v > 0. Thay vào (1) ta được:
(2).
Phương trình (2) có nghiệm nguyên v thì v là ước của -7. Suy ra v = 1 và v = 7. Thay vào (2) ta được
. Thử lại nhận
.

2). Giải phương trình nghiệm nguyên
.
Giải:



(1)
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi (1) có nghiệm nguyên

(2)

(3)
Đặt v = y +2t, thay vào (3) ta được:
. Hai vế phương trình này khác tính chẵn lẻ nên phương trình này vô nghiệm nguyên.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

3). Giải phương trình nghiệm nguyên
.
Giải:
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm nguyên:


Đặt v = y – t thay vào (1) ta được:
(2).
Pt(2) có nghiệm nguyên t thì t là ước của 5. Thử khi
có nghiệm y bằng 3 và -3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (12; 3), (8; 3), (-6; -3), (-10; -3).
2). Giải phương trình nghiệm nguyên
.
Giải:
Phương trình đã cho có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt sau có nghiệm nguyên:


Đặt v = x +2t, thay vào (1):
(2)
Pt(2) có nghiệm nguyên t thì t là ước của 1. Thử khi
có nghiệm x bằng 2 và -2.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (2; -5), (-2; 3).
Bài tập:
Chứng minh rằng phương trình x2 – y2 = 6 không có nghiệm nguyên.
Giải phương trình các nghiệm nguyên:
a)

b)


HẠN CHẾ TẬP HỢP CHỨA NGHIỆM DỰA VÀO TÍNH CHIA HẾT.
Một số ví dụ:
1) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: xy - 2x - 3y + 1 = 0.
Giải:
xy - 2x - 3y + 1 = 0
y(x – 3) = 2x – 1.
Ta thấy x = 3 không là nghiệm. với x kháv 3 ta được:


Để y nguyên thì x – 3 phải là ước của 5.
Suy ra nghiệm cần tìm: (4; 7) và (8; 3).

2) Tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: x2 + y2 = 1999.
Giải:
x2 + y2 = 1999
(x +y)(x – y) = 1999. Do 1999 là số nguyên tố :

(do x, y nguyên dương)
Bài tập:
Tìm nghiệm nguyên dương của các pt sau:
xy + 3x – 2y - 10 = 0
x2 - xy – y – 6 = 0
x2 – xy – 2x –y – 2 = 0
x2 = y2 + 17
BẤT ĐẲNG THỨC
A. Lý Thuyết:

1. TÍNH CHẤT
Tính chất 1.

a > c

Tính chất 2. a > b
a + c > b + c.

Hệ quả : a > b + c
a - c > b (chuyển vế và đổi dấu)

Tính chất 3.

a + c > b + d .
*Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.

Tính chất 4.
a > b

.

Tính chất 5.

ac > bd.
*Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều.

Tính chất 6. a > b
0
an > bn ,
n
N*


Hệ quả : * Nếu a