Chuyen de HSG bat dang thuc NT Hung TN-LN -BG

Chuyên đề chứng minh bất thức

Phần I. Một số bất đẳng thức cơ bản.

1.Các tính chất bất đẳng thức:

1.

6.


2.

7.
n chẵn

3.

8.
n chẵn

4.

9.


5.

10.



2.Bất đẳng thức Cô-si:
*ĐL:Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoắc bằng trung bình nhân của n số đó.
không âm ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi
*Dạng đơn giản:

3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kì ta có:

Dấu “=” xảy ra khi
*Dạng đơn giản;
*Biến dạng

4.Một số bất đẳng thức được áp dụng:


1.

10


2.

11


3.

12


4.

13


5.

14


6
hay
15


7

16


8

17


9

18




Phần II. Bài tập áp dụng.

Bài tập 1. (Sử dụng phương pháp làm trội).
Cho a,b,c là 3 số dương chứng minh rằng
HD. *Ta luôn có: , cộng vế ví vế ta được;


*Ta lại có: tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được:

Bài tập 2. (Sử dụng phương pháp làm trội).
Chứng minh rằng với mọi n > 1 thì
HD. Với n > 1 ta có , nên ta có:


Bài tập 3. (Sử dụng phương pháp làm trội).
Chứng minh các bất đẳng thức với n là các số tự nhiên.
a
b)
c)
HD. a)
Với n > 1 thì , với n = 0 thì Vậy BĐT luôn đúng với n là số tự nhiên.
b) Với n > 1 ta có , nên ta có:

c)Với n = 0 thì 1 < Với n > 1ta có: , nên ta có:

Ta đi chứng minh
Vậy với n là số tự nhiên.

Bài tập 4. (Sử dụng tính chất hai biểu thức có tử thức bằng nhau BT nào có MT lớn hơn thì nhỏ hơn)
a)Cho a > b > 0 Chứng minh rằng;
từ đó áp dụng so sánh giá trị các phân thức:
b
c)
HD. a) vì và
b
Vì hai BT có tử thức bằng nhau và
c)Tương tự câu a.

Bài tập 5.( Sử dụng BĐT Cô Si)
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
bvới a,b,c dương;
c
d)Với a, b, c là các số dương ta luôn có:
e) Với a, b, c là các số dương ta luôn có
HD. a)
vì với mọi a,b,c.
b)Với a,b,c dương áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:
c)
vì với mọi a,b.
d) Với a,b,c dương áp dung bất đẳng thức Cô Si ta có:

e)Đặt ta có
ta có:
ta có nên

Bài tập 6.( Sử dụng BĐT Cô Si)
a) Cho Chứng minh
b) Cho