Chuyên đề học sinh gỏi toán 9

Tiết 1( 3: ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A.LÝ THUYẾT.
I. Định nghĩa.
Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong các dấu căn.
II.Các bước giải phương trình vô tỉ
Bước 1: Tìm ĐKXĐ
Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.
III. Các kiến thức liên quan.
1. Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ quả phương trình.
2.Các phép biến đổi căn thức.
3.Các dạng phương trình đã học
-Phương trình bậc nhất
-Phương trình tích.
-Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
-Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
-Phương trình bậc 2, pt bậc cao.
4.Các phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức.

B.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I.Phương pháp nâng lên lũy thừa
Dạng 1:


Dạng 2:


Dạng 3:


Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 3/2




Khi x ≥ 3 bình phương 2 vế không âm ta có:
2x – 3 = x2 – 6x +9
(x2 – 8x + 12 = 0
((x – 2)(x – 6) = 0
( x1 = 2 ( Không thỏa mãn ĐK)
x2 = 6 ( thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6.
b)

Với ĐKXĐ: -4≤ x ≤ 1/2 ta có:
x + 4 = 2 – 3x + 2

2x + 1 =

Khi x ≥ - ½ bình phương 2 vế không âm ta có:
(2x + 1)2 = (1 – x)(1 – 2x)
2x2+7x = 0
x1 = 0; x2 = - 7/2 thử lại các điều kiện ta được x = 0.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
c)


thay
ta có:


Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ quả thì sau khi tìm được x ta phải thử lại rồi mới kết luận nghiệm.
II.Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Giải phương trình :

Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 1


+) Nếu x > 2 ta có phương trình:

không thỏa mãn.
+) nếu 1≤ x ≤ 2 ta có phương trình: 2 = 2 luôn đúng với 1≤ x ≤ 2
Vậy: 1≤ x ≤ 2

III.Phương pháp đặt ẩn phụ.
1.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:


Giải:
Điều kiện x ≥ 1
Đặt:
với a ≥ 0; b ≥ 0 phương trình đã cho thành: a + b = 1 + ab ( (a -1)(b – 1) =0( a= 1 hoặc b = 1.
+) nếu a = 1 ta có:
=1( x = 2 thỏa mãn đk.
+) nếu b = 1 ta có:
= 1( x3 + x2 + x = 0 (x(x2 + x + 1) = 0


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
2.Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình với ẩn phụ.
2.1.Nếu bài toán có chứa
và f(x) ta đặt t =
( t ≥ 0) khi đó f(x) = t2.

2.2.Nếu bài toán có chứa
và
( k là hằng số) khi đó:
Đặt t =
( t ≥ 0) thì


2.3.Nếu bài toán có chứa
mà f(x)+g(x)=k khi đó:
Đặt t =
thì

Ví dụ: Cho phương trình: 2(x2- 2x) +
- 9 = 0
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ 3 ; x ≤ -1
Đặt t =
với t ≥ 0 ta có phương trình:
2t2 + t – 3 = 0
( t1 = 1 ( thỏa mãn); t2 = - 3/2 ( không thỏa mãn).
Với t = 1 thì

=1( x2 – 2x -3 =1 (( x - 1)2 = 5 ( x = 1
( thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là: