Chuyên đề hệ thức Vi-ét

CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a(0) (*)
Có hai nghiệm
;

Suy ra:



Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S =

- Tích nghiệm là P : P =

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) ( a.12 + b.1 + c = 0 ( a + b + c = 0
Như vây phương trình có một nghiệm
và nghiệm còn lại là

b) Nếu cho x =
1 thì ta có (*) ( a.(
1)2 + b(
1) + c = 0 ( a
b + c = 0
Như vậy phương trình có một nghiệm là
và nghiệm còn lại là

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
(1) 2)
(2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
b + c = 0 nên có nghiệm
và

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
và

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2.

3.
4.

2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình
có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
, biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:
a) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :


T ừ
suy ra

b) Thay
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc


T ừ
suy ra

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
, ta giải hệ sau:

Suy ra

d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
và theo VI-ÉT ta có
. Suy ra


Với
th ì

Với
th ì


II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Ví dụ : Cho
;
lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
vậy
là nghiệm của phương trình có dạng:


Bài tập áp dụng:
1. x1 = 8 và x2 = -3
2. x1 = 3a và x2 = a
3. x1 = 36 và x2 = -104
4. x1 =
và x2 =

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình :
có 2 nghiệm phân biệt
. Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
và

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:




Vậy phương trình cần lập có dạng:

hay

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình
có 2 nghiệm phân biệt
. Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
và

(Đáp số:
hay
)
2/ Cho phương trình :
có 2 nghiệm
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn
và
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số :
)