Chuyên đề hệ phương trình đại số

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
A/ Kiến thức cơ bản
1. Phương pháp thế
( Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
( Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia).
2. Phương pháp cộng đại số
( Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
( Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên phương trình kia).
Chú ý:
( Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
( Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên.
B/ Các dạng bài tập
Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã ở dạng cơ bản

Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp cộng và thế để đưa về pt bậc nhất một ẩn để giải
Bài tập: Giải các phương trình sau:
Dạng 1 a)
b)

Dạng 2 a)
b)

Dạng 3: a)
b)

Dạng 4: a)
b)

Dạng 2: Hệ phương trình có một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.
a/ Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai ta đưa được về dạng hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai một ẩn => giải phương trình bậc hai một ẩn.
b/ Ví dụ: giải hệ phương trình sau:


c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)

c)
d)

Dạng 3: Hệ phương trình có một phương trình đưa được về dạng phương trình tích.
a/ Cách giải:
rồi giải hai trường hợp.
Chú ý: Thông thường dạng này gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai nên ta có thể giải theo cách làm ở dạng 1:
b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

hoặc

1/
2/

c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)

c)
d)

e)
f)

Dạng 4: Hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Chú ý: Cần sử dụng các phép biến đổi đồng nhất để đưa các hệ phương trình đã cho về dạng hệ phương trình đặt được ẩn phụ.
a/ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
ĐKXĐ: x
- 1, y
2


Đặt u =
, v =
Hệ phương trình đã cho trở thành:


Suy ra
(Thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) = (0;
)
b/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1/ 2/
3/

4/ 5/
6/

7/
8/
9/

10/
11)
12
Dạng 5: Hệ đối xứng loại I ( Là hệ phương trình vai trò của x và y là như nhau)

trong đó f(x;y) = f(y;x), g(x;y) = g(y;x).
a/ Cách giải: Tính tổng (hoặc tích) hai ẩn (đưa về phương trình ẩn phụ là tổng hoặc tích hai ẩn), tìm nốt tích (hoặc) tổng hai ẩn
áp dụng hệ thức vi ét đưa về pt bậc 2 một ẩn….
b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình:


Do đó x; y là hai nghiệm của phương trình:

Vậy hệ phương