Chuyên đề Cực trị

SỐ BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ

Nguyễn Tường

Lời mở đầu: Nội dung các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thông thường được nêu dưới dạng tổng quát sau đây:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = f(xi) và các giá trị xi tương ứng với i=
và các xi thuộc những miền xác định nào đó, hoặc thỏa mãn một hệ ràng buộc gk(xi) = ak (k=
)
Nguyên tắc chung để giải bài toán:
Với các điều kiện xi cho trước, dùng các phép biến đổi toán học để đưa về dạng bất đẳng thức M1
với
, trong đó M1 và M2 là các hằng số, sau đó tìm giá trị tương ứng của các xi để A = M1 ; A = M2. Khi đó M1 là giá trị nhỏ nhất, M2 là giá trị lớn nhất của A.
Sau đây chúng tôi xin giới thiệu một số bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max) và nhỏ nhất (Min) thường gặp trong chương trình toán THCS. Ở đây sự phân chia các dạng toán chỉ là tạm thời chưa bao trùm hết các kiểu bài toán tìm Min, Max phức tạp khác.
Dạng thứ nhất
Những bài toán tìm Min, Max không có điều kiện ràng buộc cho các biến. Trong loại này thông thường có các kiểu bài toán sau đây:
*1 Biểu thức cần tìm cực trị là một biểu thức nguyên
Cách giải thường dùng là viết biểu thức dưới dạng tổng các bình phương với một hằng: f(x) =

VD1 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x2 – x + 1
HD giải: f(x) = x2 – x + 1 = (x –

(do (x –
) Vậy GTNN của f(x) là
khi x =

VD2 Tìm GTLN của f(x) = – x2 + 6x + 1
HD giải:
f(x) = – x2 + 6x + 1 = – (x – 3)2 + 10

(do – (x – 3)2
)
Vậy GTLN của f(x) là 10 khi x = 3
VD3 Tìm GTNN của f(x; y) = 2x2 – 2xy + 5y2 + 2x + 2y
HD giải:
f(x; y)=

Do (2x – y + 1)2
; (3y + 1)2
nên GTNN của f(x; y) bằng –1 khi

VD4 Tìm giá trị lớn nhất của
f(x; y) = – x2 – y2 + xy + 2x + 2y
HD giải:
– 2f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 2xy – 4x – 4y
= (x – y)2 + (x – 2)2 + (y – 2)2 – 8
f(x; y)=

Vậy f(x; y) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = y = 2
Bài tập áp dụng
1-1 Tìm GTNN của f(x) = x5 – x2 – 3x + 5 với x

1-2 Tìm GTNN của
f(x; y; z) = x4 + y4 + z4 – 1 – 2x2y2 + 2x2 – 2xz

1-3 Tìm GTNN của : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
1-4 Tìm GTNN của : f(x) = x100 – 10x10 + 10
1-5 Tìm GTNN của : f(x; y) = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28
1-6 Tìm GTLN của f(x) = 2 + x – x2
*2. Biểu thức cần tìm cực trị có chứa dấu giá trị tuyệt đối
VD Tìm GTNN của f(x) = /x – 3/ + /x – 5/
HD giải:
Cách 1: Ta có /x – 3/ =

/x – 5/ =

Nếu x < 3 thì f(x) = 8 – 2x > 2
Nếu 3
thì f(x) = 2
Nếu x > 5 thì f(x) = 2x – 8 > 2
Giá trị nhỏ nhất của f(x) = 2 khi

Cách 2:
f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/

Vậy GTNN của f(x) là 2 <==> (x – 3)(5 – x)

Bài tập áp dụng
2-1 Với mọi giá trị nguyên của x, tìm GTNN của
f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/
2-2 Tìm GTNN của
f(x) = /x2