Chuyên đề bồi dưỡng toán 9

Ngày soạn :28/10/2008
Buổi 8: Phương trình nghiệm nguyên
A. Kiến thức cơ bản:
I. Một số phương pháp thường vận dụng khi giải phương trình nghiệm nguyên
1. Phương pháp đưa về phương trình tích:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y =2
Giải:
Viết PT về dạng: (x – 1 )(y – 1 ) =3
Do x, y Z nên (x-1), (y-1) Z và x-1, y-1 là ước của 3
Do vai trò của x,y như nhau nên không mất tính tổng quát g/s xy
Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0)
VD2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2+x+6=y2 (2)
Giải: Phương trình đã cho tương đương với

Ta có: nên
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6)
2. Đưa về phương trình tổng:
Các ví dụ:
VD1: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 – 4xy +5y2=169
Giải:
Pt tương đương với: (x – 2y)2 +y2 =169 =132+02=122+52
Mà yZ+ ;
Từ đó tìm được nghiệm nguyên dương của PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5)
VD2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Giải:
Ta có
Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có x=1;y=2;z=3
3. Nhận xét về ẩn số:

VD: Giải phương trình nghiệm nguyên: 1+x+x2+x3=y3
Giải:
Ta có x2+x+1>0 và 5x2+11x+7>0 với mọi x
Nên (1+x+x2+x3) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3) +(5x2+11x+7)
Do đó x3Từ đó suy ra x(x+1)=0
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là:
4. Vận dụng tính chất của tập hợp số nguyên.
VD1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x+17y=159
Giải:
Giả sử x,y là các số nguyên thoả mãn phương trình
Ta thấy 3x,159 chia hết cho 3 nên 17y phải chia hết cho 3 mà 17 không chia hết cho 3 vậy y phải chi hết cho 3 suy ra y=3t(t
Thay y=3t vào pt ta được: x=53-17t
Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta được nghiệm đúng
VD2: Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình: x2 – 2y2 = 1
Giải:
PT tương đương với (x+1)(x-1)=2y2
Vì x2=2y2+1 là số lẻ nên x+1, x-1 là số chẵn do đó (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vậy y2 chia hết cho 2 suy ra y chia hết cho 2 mà y là số nguyên tố nên y=2
Vậy phương trình có nghiệm: (3;2)
5. Phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
b. Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của pt: x3+2y3=4z3 (1)
Giải:
Giả sử (x0;y0;z0) là một nghiệm nguyên của ph