Chuyên đề bồi dưỡng hsg Toán 9 cực chuẩn

PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh
là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
.
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng :

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x 3 | = | 1 x | b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a)
b)

c)
d)

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn
nhng nhỏ hơn

19. Giải phương trình :
.
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
21. Cho
.
Hãy so sánh S và
.


22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì
là số vô tỉ.
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :
a)

b)

c)
.
24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
a)

b)
với m, n là các số hữu tỉ, n 0.
25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :
.
27. Cho các số x, y, z dơng. Chứng minh rằng :
.
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + .. + an)2 n(a12 + a22 + .. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2.
31. Chứng minh rằng :
.
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
.
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
với x, y, z > 0.
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :
a) ab và
là số vô tỉ.
b) a + b và
là số hữu tỉ (a + b 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :


39. Chứng minh rằng
bằng
hoặc

40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :



42. a) Chứng minh rằng : | A + B | | A | + | B | . Dấu = ” xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
.
c) Giải phương trình :

43. Giải phương trình :
.
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :



45. Giải phương trình :

46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

48. So sánh : a)
; b)

c)
(n là số nguyên dương)
49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
.
50. Tính :


(n > 1)
51. Rút gọn biểu thức :
.
52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức :

53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.
54. Giải các phương trình sau :






55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:
.
56. Rút gọn các biểu thức :

57. Chứng minh rằng
.
58. Rút gọn các biểu thức :

.59. So sánh :

60. Cho biểu thức :

Tìm tập xác định của biểu thức A.
Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau :



62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Chứng minh đẳng thức :

63. Giải bất phương trình :
.
64. Tìm x sao cho :
.
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :

x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:
.
67. Cho biểu thức :
.
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :
(20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x -
| + | y 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số :
(n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức
. Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính :

74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

75. Hãy so sánh hai số :
;

76. So sánh
và số 0.
77. Rút gọn biểu thức :
.
78. Cho
. Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng :
.
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của :
.
81. Tìm giá trị lớn nhất của :
với a, b > 0 và a + b 1.
82. CMR trong các số
có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức :
.
84. Cho
, trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2aan = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 2n.
86. Chứng minh :
(a, b 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài
cũng lập được thành một tam giác.
88. Rút gọn : a)
b)

89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :
. Khi nào có đẳng thức ?
90. Tính :
bằng hai cách.
91. So sánh : a)

92. Tính :
.
93. Giải phương trình :
.
94. Chứng minh rằng ta luôn có :
; (n ( Z+
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì
.
96. Rút gọn biểu thức :
A =
.
97. Chứng minh các đẳng thức sau :
(a, b > 0 ; a b)

(a > 0).
98. Tính :
.

.
99. So sánh :



100. Cho hằng đẳng thức :

(a, b > 0 và a2 b > 0).
Áp dụng kết quả để rút gọn :



101. Xác định giá trị các biểu thức sau :

với
(a > 1 ; b > 1)

với
.
102. Cho biểu thức

a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức
.
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:



105. Rút gọn biểu thức :
, bằng ba cách ?
106. Rút gọn các biểu thức sau :


.
107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b 0 ; a

a)
b)

108. Rút gọn biểu thức :

109. Tìm x và y sao cho :

110. Chứng minh bất đẳng thức :
.
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
.
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

.
113. CM :

với a, b, c, d > 0.
114. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
.
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
.
116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y
biết 2x2 + 3y2 = 5.
117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x +
.
118. Giải phương trình :

119. Giải phương trình :

120. Giải phương trình :

121. Giải phương trình :

122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

123. Chứng minh
.
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

với a, b, c > 0.
125. Chứng minh
với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài
cũng lập đợc thành một tam giác.
127. Chứng minh
với a, b 0.
128. Chứng minh
với a, b, c > 0.
129. Cho
. Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá trị nhỏ nhất của

131. Tìm GTNN, GTLN của
.
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của

133. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
134. Tìm GTNN, GTLN của :

135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

(a và b là hằng số dương).
136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
137. Tìm GTNN của
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
138. Tìm GTNN của
biết x, y, z > 0 ,
.
139. Tìm giá trị lớn nhất của : a)
với a, b > 0 , a + b 1
b)

với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
141. Tìm GTNN của
với b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0.
142. Giải các phương trình sau :












.


143. Rút gọn biểu thức :
.
144. Chứng minh rằng, (n ( Z+ , ta luôn có :
.
145. Trục căn thức ở mẫu :
.
146. Tính :
147. Cho
. Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
148. Cho
. b có phải là số tự nhiên không ?
149. Giải các phương trình sau :


150. Tính giá trị của biểu thức :

151. Rút gọn :
.
152. Cho biểu thức :

a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?
153. Tính :
.
154. Chứng minh :
.
155. Cho
. Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000.
156. Chứng minh :
(a 3)
157. Chứng minh :
(x 0)
158. Tìm giá trị lớn nhất của
, biết x + y = 4.
159. Tính giá trị của biểu thức sau với
.
160. Chứng minh các đẳng thức sau :



161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :










162. Chứng minh rằng :
. Từ đó suy ra:


163. Trục căn thức ở mẫu :
.
164. Cho
.
Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
165. Chứng minh bất đẳng thức sau :
.
166. Tính giá trị của biểu thức :
với
.
167. Giải phương trình :
.
168. Giải bất các pt : a)
.
169. Rút gọn các biểu thức sau :






170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
.
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của
với 0 < x < 1.
172. Tìm GTLN của :
biết x + y = 4 ; b)

173. Cho
. So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
174. Tìm GTNN,