Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán

PHẦN I: ĐỀ BÀI

1. Chứng minh
là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a)
b)

c)
d)

19. Giải phương trình :
.
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
21. Cho
.
Hãy so sánh S và
.
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
với x, y, z > 0.
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
51. Rút gọn biểu thức :
.
52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức :

55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:
.
63. Giải bất phương trình :
.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số :
(20 chữ số 9)
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
84. Cho
, trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Chứng minh :
(a, b ≥ 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài
cũng lập được thành một tam giác.
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

.
261. Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh rằng ta luôn có :
.
270. Xét biểu thức
.
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2. b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI

1. Giả sử
là số hữu tỉ (
(tối giản). Suy ra
(1). Đẳng thức này chứng tỏ
mà 7 là số nguyên tố nên m
7. Đặt m = 7k (k ( Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2
7 và vì 7 là số nguyên tố nên n
7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số
không tối giản, trái giả thiết. Vậy
không phải là số hữu tỉ; do đó
là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) ( b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 ( x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ( 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S ( S ≥ 2. ( mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
, ta lần lượt có:
;
cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
c) Với các