Chuyên đề bồi dưỡng HSG lớp 9

Phần I:
HỆ ĐẾM – CÁC QUI TẮC THỰC HÀNH PHÉP TÍNH.

I. Khái niệm về hệ đếm:
Trong sinh hoạt hàng ngày của XH loài người, khái niệm về số gắn liền với việc hình thành các ký hiệu số. Từ thời xưa người ta chưa cần các số lớn thì một số hình ảnh trở thành phương tiện biểu diễn các số như: Mặt trời, đôi mắt, số ngón tay trên một bàn tay… Dần dần các kí hiệu thay đổi khác với hình tượng ban đầu và chỉ còn có ý nghĩa qui ước. các kí hiệu số hiện nay )1, 2, 3, 4,..,8, 9) là những qui ước về kí hiệu số hiện nay và có t/c quốc tế. (Nhưng về tên gọi thì tùy theo các dân tộc khác nhau và nó chỉ có tính ngôn ngữ học không phụ thuộc phạm trù toán học). Xã hội ngày càng phát triển, cần sử dụng những số lớn thì các kí hiệu số qui định dùng không đủ. Vậy phải tìm cách biểu diễn các số tự nhiên bất kỳ bằng một số ít kí hiệu đã chọn. Loài người đã sáng tạo ra việc đếm theo nhóm các đơn vị theo nguyên tắc sau: “Một số nhất định các đơn vịthành lập một đơn vị bậc cao hơn; Số nhất định đó gọi là cơ số của phép đếm. Phép đếm với cơ số nhất định gọi là hệ thống đếm.
Hiện nay ngoài hệ thống đếm cơ số 10, ta còn có các hệ thống đếm:
Hệ cơ số 2 (Dùng trong máy tính điện tử).
Hệ cơ số 12 (Ứng với 12 lần trăng tròn trong 1 năm).
Hệ cơ số 5 (Ứng với 5 ngón tay trên một bàn tay).
Hệ cơ số 60 (ứng với số đo thời gian).

II. Hệ đếm theo cơ số:
Hệ đếm theo cơ số 10:
a. Cách đọc:
10 đơn vị bậc này lập thành một đơn vị bậc cao hơn (hàng 2). 10 đơn vị hàng 2 lập thành một đơn vị hàng 3 ….. Để giảm bớt cách gọi tên các hàng, người ta qui định ba hàng liên tiếp nhau tạo thành một lớp:
Lớp đơn vị gồm hàng 1, hàng 2, hàng 3.
Lớp nghì gồm hàng 4, hàng 5, hàng 6.
=> Từ đó muốn đọc một số nào đó, ta lần lượt đọc số đơn vị kèm theo hàng theo thứ tự là bậc cao đến bậc thấp trong lớp cao nhất và đọc tên lớp và cứ tiếp tục như vậy.
Ví dụ: 234 110 768. Đọc là: Hai trăm ba tư triệu, một trăm mười nghị,bảy trăm sáu tám đơn vị.
b. Cách viết: theo hai cách
- Cộng và trừ kí hiệu.
- Theo nguyên tắc giá trị vị trí.
* Cách biểu diễn:
+ Ta viết các kí hiệu (1, 2, 3, …… , 9 và 0) theo hàng ngang với nguyên tắc qui ước cùng một số viết ở hai hàng kế tiếp thì giá trị của kí hiệu bên trái gấp 10 lần giá trị kí hiệu viết bên phải…
+ Như vậy khi biết cơ số của hệ đếm, ta có thể biểu diễn bất kì một số tự nhiên nào dưới dạng một dòng các chữ. Dòng này có thể phân tích thành một tổng trong đó mỗi số hạng là một lũy thừa của cơ số nhân với một sô thích hợp nhỏ hơn cơ số.
Ví dụ: Có một số có 6 chữ số, chữ số hàng 6 kí hiệu là chữa, hàng 5 là chữ b, hàng 4 là chữ c, hàng 3 là chữ d, hàng 2 là chữ e, hàng 1 là chữ f:


2. Hệ đếm theo cơ số tùy ý:
Tương tự như hệ thập phân, nhưng cần chú ý trong hệ cơ số k, thì cứ k đơn vị lập thành một hàng nào đó thì lập thành một đơn vị của hàng cao tiếp theo. Vì thế cần chọn k tên riêng đầu tiên và tên các hàng để dùng vào việc đọc số. Chọn k – 1 kí hiệu đầu và kí hiệu 0 để viết số.
Ví dụ:


Chú ý: Để khỏi lầm lẫn với các số trong cơ số 10, ta viết thêm chữ số vào phía dưới bên phải số đó. 425 cơ số 5 = 425(5).
Lũy thừa của cơ số phải bằng số chữ số trong ssó đó trừ đi 1.
3. Đổi một số từ hệ thống cơ số này sang hệ thống cơ số khác:
a. Nhận xét:
Một số đã cho viết theo hệ cơ số a muốn viết sang hệ cơ số b thì lấy hệ cơ số thập phân làm trung gian. Vì thế ta xét hai trường hợp đổi sau:
- Viết một số từ hệ cơ số tùy ý sang hệ