Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG

CHUYÊN ĐỀ 1: Phương trình và hệ phương trình.
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.

Bài 1:Gpt:

Giải:
Đặt
(1).
Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0
(u-v).(10u-v)=0
u=v hoặc 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.

Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15

(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0

(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0

(x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0

(u-1).(u+1)-15=0

u2-16=0

u=
4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 3:Gpt:

Giải:


.

.
Đặt u = x2 ( u
0) (1).
Ta có:

( u
1).


.
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.

Bài 4:Gpt:
.
Giải:
Đặt
(1).
Có:



Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 5:Gpt:
(1).
Giải:
Từ (1) suy ra:




(x
0).

.
Đặt
(*) ta có:
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 6:Gpt:

Giải:
Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.
*Nếu x > 4, (1) trở thành:


Đặt
(2) ta có:
y2 + 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.
*Nếu x < -1, (1) trở thành:


Đặt
(3) ta có:
y2 - 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.

Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
Giải:
(1)
(x
0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :

4x2 + 4x -20 +
= 0.


. Đặt y =
.(2)
Ta có: y2 + 2y -24 = 0.
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.

Bài 8:Gpt:

Giải:















Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.

Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).
Giải:




Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x
0.
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:
2x2 - x + 1 -
. Đặt y =
(*). Ta có:
2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.

Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.
Giải:
Đặt 7 - x = y (*).
Ta có:
(y-1)4 + (y + 1)4 =16
2y4 +12 y2 +2 = 16
2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0

y =1 hoặc y = -1.
Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x.

II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau:

Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3)
Giải:
Đặt y2 + 3y = t.
Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t.