CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 - TỨ GIÁC NỘI TIẾP

CHUYÊN ĐỀ : ĐƯỜNG TRÒN

A - MỤC TIÊU
- Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đường tròn.
- Vận dụng một cách thành thục các định nghĩa, tính chất để giải các dạng bài tập đó.
- Rèn kỹ năng và tư duy hình học, sáng tạo và linh hoạt trong giải toán hình học.
B - NỘI DUNG
I/ Những kiến thức cơ bản :
Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn :
Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường tròn tâm O bán kính R , kí hiệu là (O,R) .
Một đường tròn hoàn toàn xác định bởi một điều kiện của nó . Nếu AB là đoạn cho trước thì đường tròn đường kính AB là tập hợp những điểm M sao cho góc AMB = 900 . Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB còn bán kính thì bằng
.
Qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng luôn vẽ được 1 đường tròn và chỉ một mà thôi . Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tâm của đường tròn là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
Trong một đường tròn , đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó . Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó .
Trong đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
Trong một đường tròn , hai dây cung không bằng nhau , dây lớn hơn khi và chỉ khi dây đó gần tâm hơn .
Tiếp tuyến của đường tròn :
* Định nghĩa : Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó có một điểm chung với đường tròn. Điểm đó được gọi là tiếp điểm .
* Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm . Ngược lại , đường thẳng vuông góc với bán kính tại giao điểm của bán kính với đường tròn được gọi là tiếp tuyến .
a là tiếp tuyến của đường tròn (O)
* Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm .
AB = AC
AO là tia phân giác góc BAC
OA là tia phân giác góc BOC
* Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác đó . Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của tam giác .
* Đường tròn bàng tiếp của tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia .
Vị trí tương đối của hai đường tròn :
Giả sử hai đường tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là khoảng cách giữa hai tâm . Khi đó mỗi vị trí tương đối giữa hai đường tròn ứng với một hệ thức giữa R , r và d theo bảng sau :
Vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức

Hai đường tròn cắt nhau
2
R – r 
Hai đường tròn tiếp xúc
1
d = R + r ( d = R – r )

Hai đường tròn không giao nhau
0
d > R + r ( d < R – r )


Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi tiếp điểm nằm trên đường nối tâm .
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây cung chung và chia dây cung đó ra hai phần bằng nhau .
Các loại góc :
* Số đo cung :
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó : sđ
=

- Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ : sđ
= 3600 -

- Cung bị chắn bởi một góc là cung nằm trong hai cạnh của góc đó
Góc ở tâm :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh ở tâm đường tròn .
Tính chất : Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn .

= sđ

Góc nội tiếp :
Định nghĩa : Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây của đường tròn đó .
Tính chất : Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn .

=
sđ

Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung
Định nghĩa: Là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp tuyến và một cạnh chứa dây cung của đường tròn
Tính chất : Số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung