Chuyen de BDHSG CM bat dang thuc

Chuyên đề chứng minh bất thức
(Tham khảo của nhiều tác giả)

Phần I. kiến thức cơ bản.
1-Đinhnghĩa




2.Các tính chất bất đẳng thức:

1.

6.


2.

7.
n chẵn

3.

8.
n chẵn

4.

9.


5.

10.



3.Một số hằng bất đẳng thức

1.
A0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )

4.
( dấu = xảy ra khi A.B > 0)


2.
với (dấu = xảy ra khi A = 0 )




3.
< A =
5.
( dấu = xảy ra khi A.B < 0)



4.Bất đẳng thức Cô-si:
*ĐL:Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoắc bằng trung bình nhân của n số đó.
không âm ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi
*Dạng đơn giản:

3.Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:
*Cho n cặp số bất kì ta có:

Dấu “=” xảy ra khi
*Dạng đơn giản;
*Biến dạng

4.Một số bất đẳng thức được áp dụng:


1.

10


2.

11


3.

12


4.

13


5.

14


6
hay
15


7

16


8

17


9

18





Phần II. Một số phương pháp cơ bản.

Phương pháp 1 : dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A - B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M0 với( M

Ví dụ 1 ( x, y, z chứng minh rằng : a) x+ y+ zxy+ yz + zx
b) x+ y+ z2xy – 2xz + 2yz
c) x+ y+ z3 2 (x + y + z)

Lời giải: a) Ta xét hiệu x+ y+ zxy – yz – zx = 2 .( x+ y+ zxy – yz – zx) =
úng với mọi x;y;zVì (x-y)2 0 với(x ; y do đó dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với( z; y, dấu bằng xảy ra khi
Vậy x+ y+ zxy+ yz +zx, dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x+ y+ z( 2xy – 2xz +2yz ) = x+ y+ z2xy +2xz –2yz =( x – y + zđúng với mọi x;y;z. Vậy x+ y+ z2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z.Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x+ y+ z3 – 2( x+ y +z ) = x2x + 1 + y-2y +1 + z2z +1 = (x-1(y-1) z-10. Dờu (=) xảy ra khi x = y = z = 1

Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) ; b)
c) Hãy