Chuyen de BD HSG toan 9

Chuyên đề:
“Một số bài toán cực trị liên quan giữa tam giác và đường tròn”

Lý thuyết:
Xét tam giác ABC có đường cao ứng với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là hc, ha, hb, đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r. Gọi độ dài các cạnh AB, AC, BC lần lượt là c, b, a; diện tích tam giác ABC là S. Ta có:
S =
và a = b = c =
2AD = 2AE = AB + AC – BC
2BD = 2BE = AB + BC – AC
2CE = 2CF = CA + CB – AB
Hệ quả: Nếu tam giác ABC có
Bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-côp-xki
Với a, b không âm ta có: dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
Với hai bộ số ( a1,a2) và (b1, b2) ta có (a1b1+a2b2)2dấu ‘=’ xảy ra khi
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Trong các tam giác có đáy bằng a, chiều cao ứng với cạnh đáy đó bằng h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất ?
Giải:
Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r, diện tích của tam giác ABC là S.
Ta có:
Nhận thấy r lớn nhất khi AB + BC + a nhỏ nhất. AB + AC + a nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất. Suy ra A là giao của đường trung trực đoạn BC với d ( d // BC và cách BC một khoảng bằng h )
Vậy trong các tam giác có đáy bằng a, chiều cao ứng với cạnh đáy đó bằng h, tam giác cân tại đỉnh đối diện với cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Ví dụ 2: Trong các tam giác ngoại tiếp một đường tròn tâm O bán kính r cho trước. Tìm tam giác có tổng độ dài ba đường cao đạt GTNN.
Giải: Gọi độ dài các cạnh AB, BC, AC là: c, a, b đường cao tương ứng với các cạnh AB, BC, AC là
ha, hb, hc.
Ta có:
dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b = c hay ABC đều
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho hai bộ số và ta có

Dấu bằng xảy ra khi đều
Cách 3: Ta có (1) (2) (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:
(4)
Mặt khác ta có (5)
Từ (4) và (5) ta có
Dấu bằng xảy ra khi ha = hb = hc hay đều
Ví dụ 3: Cho ( kẻ các trung tuyến AE, BF. Đặt AE = m, AF = n, gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tìm GTLN của
Giải:


( 1)
Mặt khác 2r = AC + BC – AB
Do ( AC + BC )2 2(AC2 + BC2 ) = 2AB2 (2)
Từ (1) và (2), ta có
Vậy MAX A = AC = BC hay vuông cân tại C
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm M chuyển động trên đường tròn ( M khác A và B ). Gọi H là chân đường cao hạ từ M xuống cạnh AB của tam giác AMB, gọi r1, r2, r3 là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác AMB,