CHUYÊN DỀ BD HSG 9

Chuyên đề :
TOÁN CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN
I-MỤC TIÊU:
HS:Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm thuộc một đường tròn.
HS:Có kỹ năng vận dụng các phương pháp vào bài tập môït cách linh hoạt
HS:Rèn luyện kỷ năng vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải quyết phù hợp với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo.
II-THỜI LƯỢNG:(8Tiết)
Tiết 1,2,3
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1-Chỉ ra các điểm cùng cách đều một điểm
2-Chứng minh hai góc đối của tứ giác bù nhau
3-Chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn xuông một đoạn dưới những góc bằng nhau.(Dựa vào cung chứa góc)
Các cách khác để chứng minh tứ giác nội tiếp .
-Chứng minh tứ giác là hình thang cân
-Chứng minh một góc của tứ giác bằng một góc ngoài của góc đối diện
Ví du1ï:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M là một điểm bất kỳ thuộc AC.Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB,AC,BC .Chứng minh rằng:
a)các điểm A,M,H,I cùng thuộc một đường tròn .
b)Các điểm M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn.
c)Các điểm I,H,K thẳng hàng.
Giải:Giả sử H nằm ngoài cạnh AB ,điểm K nằm trên cạnh BC
Tứ giác AHMI có AHM + AIM = 900+900 = 1800
=> AHMI là tứ giác nội tiếp
=> A,H,M,I cùng thuộc một đường tròn .
b) MIC = MKC = 900 => I và K thuộc đường tròn có đường kính MC => M,I,K,C cùng thuộc một đường tròn .
c) Từ câu a) => MIH = MAH (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Từ câu b) => MIK+ MCK = 1800 (Tính chất của tứ giác …).
Ta lại có MAH = MCK (cùng bù BAM)
=> MIH + MIK = 1800 .Vậy H,I,K thẳng hàng .
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, các đường cao AM,BN ,CP cắt nhau tại H .
Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC,AC,AB .Gọi (Q) là
đường tròn đi qua D,E,F.Gọi I là trung điểm của HA
a) C/M tứ giác DEIF là tứ giác nội tiếp
b) Gọi K,L theo thứ tự là trung điểm của HB,HC .C/m K,L thuộc đường tròn (Q)
c) C/m:M,N,P thuộc đường tròn (Q).
Bài giải
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ,FI //BH,
FD //AC ,mà BH
AC nên FI
FD
IFD = 900 .Tương tự
DEI = 900 .Vậy DEIF là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính DI .Đường tròn này đi qua D,E,F nên là đường tròn (Q).
Theo câu a) đường tròn (Q) đi qua trung điểm của
AH ,do đó tương tự đường tròn (Q) cũng đi qua trung
điểm của HB,HC tức là K,L cũng thuộc đường tròn (Q)
Ta có IMD = 900 = > M thuộc đường tròn đường kính ID tức là đường tròn (Q). Tương tự N,P cũng thuộc đường tròn (Q).
Ví dụ 3:
Cho đường tròn tâm (O) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn đó .Từ O vẽ OA vuông góc với xy ; Từ A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C cắt xy tại D và E .Chứng minh AD = AE .
HD:
Chúng minh :OAD = OBD = 1v
=> B,D thuộc đương tròn đường kính OD hay tứ giác OBAD
nội tiếp một đường tròn đường kính OD
Chứng minh:OCE =1v;OAE =1v
=> OCE + OAE =1v+1v= 2v
=> OCEA nội tiếp
Chứng minh (OBD = (OCE (g-c-g) => OD =OE
=> DA = AE
Ví dụ 4:Cho đường tròn tâm O AB là đường kính ta kẽ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở E và F và cắt đường tròn tại C và D .c/m tứ giác ECDF nội tiếp .
HD: Chúng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v
=> CEFD nội tiếp một đường tròn
Ví dụ5:
Trên đường tròn (O;R) đường kính AB , lấy hai điểm M,E theo thứ tự A,M,E,