Chuyên đề Bất Đẳng Thức ôn luyện HSG toán 9 2012-2013

A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a  b)2 =a2  2ab +b2
( a  b)2 = a2 ( 3a2b +3ab2  b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2
( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3
( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3
(a  b)4 =a4a3 + 6a3 b3
4ab3 +b4

II) Các bất đẳng thức:
(a  b)2  0 với  a ,b
a2  0 với  a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a4 + b4  162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt

với m tuỳ ý
Ta có : a4 + b4 = (3 + m)4 + (3 - m)4 =


=

Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a4 + b4  32
Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt

với m tuỳ ý

Ta có : a4 + b4 = (2 + m )4 + (2- m)4 = 32 + 48m2 +2m4  32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tương ứng như trên với

Với m tuỳ ý
Bài 3: Cho x + y + z = 3
Chứng mỉnh rằng: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx  6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt

Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2 + (1 + b )2 + (1 - a - b)2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a2 + ab + b2


Với mọi a , b . Dấu” = “xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM .
Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:

Hoặc
với a +b +c = 0

Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên .
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd 

Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :


Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
(a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd =



Vớii mọi x , y . z .
Dấu ” = “ xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k .
Ta có thể đặt theo 2 cách :

Hoặc
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
a2 + d2 + cd  3ab
a2 + b2 + ab  3cd
Giải
Phần a , b tương tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt

Với x tuỳ ý
Ta có


a,b,x
Dấu ” = “ xảy ra khi x = a - b +
= 0 hay a = b = c = d
Với c2