Chuyên đề: Bất đẳng thức

Chuyên đề: Bất đẳng thức

Tác giả : Nguyễn –Văn –Thủy
sưu tập và biên soạn năm 2000
chỉnh sửa năm :2007


Bác tặng cháu - chúc cháu thành công

A- Mở đầu:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .
Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố
của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh được phat triển đa dang và phong phú
vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả.
Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống.
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác.
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu được của người dạy toán ,thông qua đó rèn luyện
Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm được điều đó người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức .
Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt hơn.





Danh mục của chuyên đề

S.t.t
Nội dung
trang


Phần mở đầu
1


Nội dung chuyên đề
2


Các kiến thức cần lưu ý
3


Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức
4


Phương pháp 1:dùng định nghiã
4


Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương
6


Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc
8


Phương pháp 4:dùng tính chất bắc cầu
10


Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số
12


Phương pháp 6: dùng phương pháp làm trội
14


Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác
16


Phương pháp 8: dùng đổi biến
17


Phương pháp 9: Dùng tam thức bậc hai
18


Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học
19


Phương pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng
21


Các bài tập nâng cao
23


ứng dụng của bất dẳng thức
28


Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
29


Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình
31


Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên
33


Tài liệu tham khảo














B- nội dung
Phần 1 : các kiến thức cần lưu ý

1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng


Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1-Phương pháp dùng định nghĩa
2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương
3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc
4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu
5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số
6- Phương pháp làm trội
7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
8- Phương pháp đổi biến số
9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai
10- Phương pháp quy nạp
11- Phương pháp phản chứng

Phần 3 :các bài tập nâng cao

PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình
3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên













Phần I : các kiến thức cần lưu ý
1-Đinhnghĩa



2-tính chất

+ A>B

+ A>B và B >C

+ A>B
A+C >B + C
+ A>B và C > D
A+C > B + D
+ A>B và C > 0
A.C > B.C
+ A>B và C < 0
A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C + A > B > 0
A
> B



+ A > B

A
> B
với n lẻ
+
>


A
> B
với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1
A
>
A

+ m > n > 0 và 0 +A < B và A.B > 0



3-một số hằng bất đẳng thức

+ A

0 với
A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An
0 với
A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+
với
(dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ -
< A =

+
( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+
( dấu = xảy ra khi A.B < 0)












Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp 1 : dùng định nghĩa

Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M

0 với( M

Ví dụ 1 ( x, y, z chứng minh rằng :
a) x
+ y
+ z

xy+ yz + zx
b) x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz
c) x
+ y
+ z
+3
2 (x + y + z)

Giải:

a) Ta xét hiệu
x
+ y
+ z
- xy – yz - zx
=
.2 .( x
+ y
+ z
- xy – yz – zx)
=

đúng với mọi x;y;z

Vì (x-y)2
0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2
0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2
0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x
+ y
+ z

xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x
+ y
+ z
- ( 2xy – 2xz +2yz )
= x
+ y
+ z
- 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z)

đúng với mọi x;y;z

Vậy x
+ y
+ z

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x
+ y
+ z
+3 – 2( x+ y +z )
= x
- 2x + 1 + y
-2y +1 + z
-2z +1
= (x-1)
+ (y-1)
+(z-1)

0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
;b)


c) Hãy tổng quát bài toán


giải
a) Ta xét hiệu

=

=

=

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu


=

Vậy


Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát



Tóm lại các bước để chứng minh A
B tho định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)
hoặc H=(C+D)
+….+(E+F)

Bước 3:Kết luận A ( B

Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh (m,n,p,q ta đều có
m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)
Giải:



(luôn đúng)


Dấu bằng xảy ra khi






Bài tập bổ xung





































phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Lưu ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Chú ý các hằng đẳng thức sau:






Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)


b)

c)


Giải:
a)





(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)






Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)










Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:

Giải:








a2b2(a2-b2)(a6-b6)
0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y
Chứng minh



Giải:



vì :x
y nên x- y
0
x2+y2

( x-y)

x2+y2-
x+
y
0
x2+y2+2-
x+
y -2
0

x2+y2+(
)2-
x+
y -2xy
0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-
)2
0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
1)CM: P(x,y)=


2)CM:
(gợi ý :bình phương 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:


Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
)=x+y+z - (
(vì
< x+y+z theo gt)

2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1
x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1

















Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a)

b)
dấu( = ) khi x = y = 0
c)

d)

2)Bất đẳng thức Cô sy:
Với

3)Bất đẳng thức