Chuyen de 5-So chinh phuong

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. Số chính phương:
A. Một số kiến thức:
Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác
Ví dụ:
4 = 22; 9 = 32
A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2
+ chính khơng cùng các : 2, 3, 7, 8
+ chính chia cho 2 thì chia cho 4, chia cho 3 thì chia cho 9, chia
cho 5 thì chia cho 25, chia cho 23 thì chia cho 24,…
+
= a thì
= 9a
9a + 1 =
+ 1 = 10n
B. Một số bài toán:
1. Bài 1:
Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Giải
Gọi A = n2 (n
N)
a) xét n = 3k (k
N)
A = 9k2 nên chia hết cho 3
n = 3k
1 (k
N)
A = 9k2
6k + 1, chia cho 3 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1
b) n = 2k (k
N) thì A = 4k2 chia hết cho 4
n = 2k +1 (k
N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1
Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4
+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)
2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương
a) M = 19922 + 19932 + 19942
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
Giải
a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3
M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
Gọi Ak = 1 + 2 +... + k =
, Ak – 1 = 1 + 2 +... + k =

Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:
13 = A12
23 = A22 – A12
.....................
n3 = An2 = An - 12
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:
13 + 23 + ... +n3 = An2 =
là số chính phương
3. Bài 3:
CMR: n ( N thì các số sau là chính .
a) A = (10n +10n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1
A = (
)(10 n+1 + 5) + 1

a = 10n+1 thì A =
(a + 5) + 1 =

b) B =

6 ( cĩ n 1 và n-1 5)
B =

+ 1 =
. 10n +
+ 1 =
. 10n + 5
+ 1
Đặt
= a thì 10n = 9a + 1 nên
B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 =

c) C =
.+
+ 1
Đặt a =
Thì C =

+ 4.
+ 1 = a. 10n + a + 4 a + 1
= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
d) D =
8
1 . Đặt
= a
10n = a + 1
D =
. 10n + 2 + 8. 10n + 1 + 1 = a . 100 . 10n + 80. 10n + 1
= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = (
)2
e) E =

5 =

00 +