Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Giáo viên : Nguyễn Văn Độ
Trường THCS BÌNH MỸ
Hãy giải các phương trình sau :
a. x2 – 5x + 4 = 0
b. x2 + 7x + 12 = 0
Cách giải :
a. x2 – 5x + 4 =0
a = 1, b = - 5 , c = 4
∆ = b2 – 4ac = (- 5 )2 – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1 = , x2 =

b. x2 + 7x +12 = 0
a = 1 , b = 7 , c = 12
∆ = b2 – 4ac = 72 – 4.1.12 = 1 > 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = , x2 =

1.Hệ thức Vi- ét
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
BÀI 6
Tiết PPCT : 57
HỆ THỨC VI-ÉT
Cho phương trình bậc hai :
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
Nếu ∆ > 0 hãy nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình ?
x1 = , x2 =
Nếu ∆ = 0 các công thức này có đúng không ?
Nếu ∆ = 0 suy ra , khi đó x1 = x2 =
Vậy các công thức trên vẫn đúng khi ∆ = 0
Trả lời.
Trả lời.
Hãy tính x1 + x2 ?
x1 . x2 ?
x1 + x2 =
x1 . x2 =
HỆ THỨC VI-ÉT
1. Hệ thức Vi – ét.
Định lý Vi-ét.
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) thì





HỆ THỨC VI-ÉT
Bài tập 25 / tr 52 SGK
Đối với mỗi phương trình sau, ký hiệu x1 , x2 là hai nghiệm ( nếu có ). Không giải phương trình hãy điền vào chỗ trống (...)
2x2 – 17x + 1 = 0, ∆ = ........... , x1 + x2 =....................., x1.x2=........................

b) 5x2 – x – 35 = 0, ∆ = ........... , x1 + x2 =....................., x1.x2=........................

c) 8x2 – x + 1 = 0, ∆ = ........... , x1 + x2 =............................., x1.x2=.............................


281
701
- 7
- 31
Không tìm được
Không tìm được
?2
Cho phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0.
Xác định các hệ số a , b ,c rồi tính a + b + c.
Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
Dùng định lý Vi-ét để tìm x2.
Cho phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0.
Chỉ rõ các hệ số a, b , c của phương trình và tính a – b + c.
Chứng tỏ x1 = - 1 là một nghiệm của phương trình.
Tìm nghiệm x2.
?3
HỆ THỨC VI-ÉT
a) Các hệ số là : a = 2 , b = - 5 , c = 3
Ta có : a + b + c = 2 + ( -5 ) + 3 = 0
b) Thay x1 = 1 vào phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 ta có :
2.12 – 5.1 + 3 = 0
Suy ra x1 = 1 là một nghiệm của phương trình
c) Theo hệ thức Vi-ét ta có :
x1.x2 = có x1 = 1 suy ra x2 =
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 , còn nghiệm kia là x2 =
?2
HỆ THỨC VI-ÉT
?3
Các hệ số là : a = 3 , b =7 , c = 4
Ta có : a – b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b) Thay x1 = -1 vào phương trình 3x2 + 7x + 4 = 0
3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 suy ra x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo hệ thức Vi-ét :
x1.x2 = có x1 = -1 suy ra x2 =
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 ,còn nghiệm kia là x2 =
HỆ THỨC VI-ÉT
?4
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình :
- 5x2 + 3x + 2 =0
b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0
HỆ THỨC VI-ÉT
?4
-5x2 + 3x + 2 = 0  5x2 – 3x – 2 = 0
a = 5 , b = -3 , c = -2
Có a + b + c = 5 + ( - 3 ) + ( - 2 ) = 0
Nên x1 = 1 , x2 =
b) 2004x2 + 2005x + 1 = 0
a = 2004 , b = 2005 , c = 1
Có a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0
Nên x1 = -1 , x2 =
HỆ THỨC VI-ÉT
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Xét bài toán : Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x.
Số thứ hai là ( S – x )
Do tích của hai số đó bằng P nên ta có phương trình :
x.( S – x) = P
 x2 – Sx + P = 0
Phương trình có nghiệm khi : ∆ = S2 – 4P ≥ 0
HỆ THỨC VI-ÉT
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình :
x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để có hai nghiệm ( hai số ) đó là :
∆ = S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ 1. Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải.
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình : x2 – 27x + 180 = 0
Ta có : ∆ = 272 – 4.1.180 = 729 – 720 = 9

x1 = ; x2 =

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
HỆ THỨC VI-ÉT
?5
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình : x2 – x + 5 = 0
a = 1 , b = -1 , c = 5
Ta có : ∆ = ( -1 )2 – 4.1.5 = - 19 < 0
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5.
Giải.
HỆ THỨC VI-ÉT
Củng cố
Khi nào phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm ?
Phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm khi ∆ ≥ 0
Vậy khi tìm tổng và tích của hai nghiệm các em phải làm sao ?
Trả lời
Thông thường ta phải tìm ∆ ( hoặc ∆’ )
Lưu ý : Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
Nếu hệ số a, c cùng dấu thì ta phải tìm ∆ ( hoặc ∆’ ) để biết phương trình có nghiệm hay không.
Nếu hệ số a , c trái dấu thì ta có thể khỏi lập ∆ ( hoặc ∆’ ) vì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Trả lời
HỆ THỨC VI-ÉT
Bài tập.
Không giải phương trình 25x2 + 10x + 1 = 0. Hãy tìm tổng hai nghiệm ( nếu có ) và tích hai nghiệm.
Giải
∆ = b2 – 4ac = 102 – 4.25.1 = 100 – 100 = 0
Vậy :
HỆ THỨC VI-ÉT
Bài tập.
Không giải phương trình 25x2 + 10x + 1 = 0. Hãy tìm tổng hai nghiệm ( nếu có ) và tích hai nghiệm.
Giải
∆ = b2 – 4ac = 102 – 4.25.1 = 100 – 100 = 0
Vậy :
HỆ THỨC VI-ÉT
Bài tập 26/ tr53 SGK
Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau :
35x2 – 37x + 2 = 0
c) x2 – 49x - 50 = 0
Giải.
Có a + b + c = 35 + ( - 37 ) + 2 = 0
Nên x1 = 1 , x2 =
c) Có a – b + c = 1 – ( - 49 ) + ( -50 ) = 1 + 49 – 50 = 0
Nên x1 = -1 , x2 =
HỆ THỨC VI-ÉT
Hướng dẫn về nhà
Học kỹ hệ thức Vi-ét.
Cách tính nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.
Làm các bài tập 26b,d ; 28a,b / tr 53 SGK.

HỆ THỨC VI-ÉT