Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1. Hệ thức vi- ét
Định lí vi- ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c= 0(a?0)
Hãy tính : x1+x2= ..........
x1. x2=..............
thì
Cho phương trình bậc hai :
ax2+ bx +c = 0 (a?0) có nghiệm thì đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
?1
Cú th? em chua bi?t ?
Phrang - xoa Vi-ột (sinh 1540- 1603) t?i Phỏp.
ễng l� ngu?i d?u tiờn dựng ch? d? kớ hi?u cỏc ?n, cỏc h? s? c?a phuong trỡnh v� dựng chỳng d? bi?n d?i v� gi?i phuong trỡnh nh? cỏch dú m� nú thỳc d?y D?i s? phỏt tri?n m?nh.
- ễng l� ngu?i phỏt hi?n ra m?i liờn h? gi?a cỏc nghi?m v� cỏc h? s? c?a phuong trỡnh.
- ễng l� ngu?i n?i ti?ng trong gi?i m?t mó.
- ễng l� m?t lu?t su, m?t chớnh tr? gia n?i ti?ng.
1. Hệ thức vi ét
Định lí vi- ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c= 0(a?0)
Ví dụ: Biết các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm của chúng
a, 2x2- 9x +2 = 0 ; b, -3x2+6x -1 =0
a, Phương trình 2x2- 9x +2 =0 có nghiệm, theo hệ thức Vi-ét ta có:
b, Phương trình - x2 + 6x - 1 = 0 có nghiệm, theo Hệ thức Vi-ét ta có:
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
Lời giải
áp dụng
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
Cho phương trình 2x2- 5x+3 = 0 .
a, Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lý Vi- ét để tìm x2..
?3 Cho phương trình 3x2 +7x+4=0.
a, Chỉ rõ các hệ số a,b,c rồi tính a-b+c.
b, Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của phương trình.
c, Tìm nghiệm x2
Nhóm 2 và nhóm 4 (Làm ?3)
Hoạt Động nhóm ( Th?i gian 3 phỳt)
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
Nhóm 1 và nhóm 3 ( Làm ?2 )
áp dụng
1. Hệ thức vi - ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập

?4: Tính nhẩm nghiệm của phương trình
a, - 5x2+3x +2 =0;
b, 2004x2+ 2005x+1=0
Lời giải
b, 2004x2+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1
a, -5x2 +3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2
=>a-b+c=2004-2005+1=0
=>a+b+c= -5+3+2= 0.
áp dụng
1. Hệ thức vi- ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S - x. Theo giả thiết ta có phương trình
x(S - x) = P hay x2- Sx + P=0.
Nếu ?= S2- 4P ?0,
thì phương trình (1) có nghiệm . Các nghiệm này chính là hai số cần tìm
áp dụng
Ví dụ1. Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình
x2_ 27x +180 = 0
Δ = 272- 4.1.180 = 729-720 = 9
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
áp dụng
1. Hệ thức vi- ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
2. Tìm hai sô biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
áp dụng
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
?5. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2-5x+6 = 0.
Giải.
Vì 2+3=5; 2.3=6 nên x1=2, x2= 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2- x+5 = 0
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1 và tích bằng 5
Δ=(-1)2 – 4.1.5 = - 19<0.
áp dụng
áp dụng
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
2. Tìm hai sô biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
1. Hệ thức vi- ét
Lời giải
Bài 27/ SGK. Dùng hệ thức Vi- ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a,x2 - 7x+12= 0(1); b, x2+7x+12=0 (2)
Nửa lớp làm câu a
Nửa lớp làm câu b
a, Vì 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên x1=3 ,x2=4 là phương trình (1)
b, Vì (-3) +(-4) =-7và(-3).(-4) = 12 nên x1=-3, x2=-4 là phương trình (2)
áp dụng
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
2. Tìm hai s? biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
Tiết 57 : Hệ thức Vi – ét và ứng dụng. Luyện tập
1. Hệ thức vi- ét
Luyện tập
Bài tập 25: Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...)
a, 2x2- 17x+1= 0, ? =...... x1+x2=......
x1.x2=...........
b, 5x2- x- 35 = 0, ? =...... x1+x2=......
x1.x2=...........
c, 8x2- x+1=0, ? =...... x1+x2=......
x1.x2=...........
d, 25x2 + 10x+1= 0, ? =...... x1+x2=......
x1.x2=...........
Hướng dẫn về nhà
-Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích
-Nắm vững cách nhẩm nghiệm : a+b+c = 0
a-b+c = 0
hoặc trường hợp tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số nguyên có giá trị tuyệt đối quá không quá lớn
-Bài tập về nhà số 28 (b,c) trang 53, bài 29 trang 54 SGK, bài 35,36,37,38,41 trang 43,44 SBT
Giáo viên thực hiện
Phan Đình Phương

Bài tập
Cho phương trình: x – 6x + m =0 (*)
1.Cho m = 5
a) Hãy giải phương trình trên.


b) Tìm nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên. Tìm phương trình nhận nghịch đảo các nghiệm của các phương trình trên là nghiệm

2.a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

b) Tính

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau..

e) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là cùng dấu..

f) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là cùng dấu dương..

Ngoài ra ta còn có rất nhiều các bài toán có liên quan đến hai nghiệm của phương trình các em tự đặt ra và tìm cách giải