Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Viet và ứng dụng trong các bài toán
Định lý Viet
Có 2 nghiệm
Cho phương trình bậc 2 : ax² +bx+c = 0 (a≠0)
Suy ra
Vậy đặt:
Tổng nghiệm là S

Tích nghiệm là P
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức
Nhẩm nghiệm của phương trình
Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (*) ta thấy:

Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.1² + b.1+c = 0 => a+b+c=0

Như vậy phương trình có 1 nghiệm

và nghiệm còn lại là
Nếu cho x =−1 thì ta có (*) a.(−1)² + b.(−1)+c = 0
a − b + c=0

Như vậy phương trình có 1 nghiệm

và nghiệm còn lại là
Ví dụ
Dùng hệ thức Viete để nhẩm nghiệm của các phương trình sau
1) 2x²+ 5x + 3 = 0 (1) 2) 3x² + 8x −11 = 0 (2)
Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử.
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Ví dụ
Phân tích đa thức f(x) = -5x2 + 3x + 2 thành nhân tử.
Giải
Ta có đa thức f(x)= -5x2 + 3x + 2 có hai nghiệm là

1 và nên
Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có Tổng bằng S và tích bằng P thì 2 số đó là 2 nghiệm của phương trình:


(điều kiện để có 2 số đó là )

Ví dụ
Tìm 2 số a,b biết tổng bằng S = a+b = -3
tích bằng P = ab = -4
Vì a + b = -3 và ab = -4 nên a,b là nghiệm của phương trình :

Giải phương trình trên ta được
và
Vậy nếu a =1 thì b = -4
nếu a = -4 thì b = 1
Ví dụ 2
Tìm 2 số a và b biết: a + b = 9 và a²+ b² = 41

Khi đã biết tổng 2 số a và b,áp dụng hệ thức Viet tìm tích của a và b
- Từ


Suy ra: a,b là nghiệm của phương trình có dạng:

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho 2 nghiệm này độc lập đối với tham số m
Các bước làm

Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm và ( thường là a ≠ 0 và )

Áp dụng hệ thức Viet viết
và

Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo và
Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
và
Ví dụ
Cho phương trình :
có 2 nghiệm ; . Lập hệ thức liên hệ giữa ; sao cho chúng không phụ thuộc vào

Để phương trình có 2 nghiệm và thì:

Theo hệ thức Viet ta có:


Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
Nhận xét:
Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Sau đó dựa vào hệ thức Viet rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thôộc vào tham số m.
Ví dụ 2
Gọi ; là nghiệm của phương trình:


Chứng minh rằng biểu thức

không phụ thuộc giá trị
Để phương trình trên có 2 nghiệm và thì:
Theo hệ thức Viet ta có :
(Thay vào A)
Ta có:
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức nghiệm đã cho
Các bước làm
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm và ( thường là a ≠ 0 và
)

Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Viet để giải phương trình ( có ẩn là tham số).

Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.


Ví dụ
Cho phương trình

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thỏa mãn hệ thức:
Giải
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là:
Theo hệ thức Viet ta có
Suy ra
(N)
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình ax² +bx+c = 0 (a≠0). Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm
BẢNG XÉT DẤU
Chú ý: Nếu P>0 thì phải tính  (hoặc ’) để xem phương trình có nghiệm hay không rồi mới tính S để xác định dấu các nghiệm.
Ví dụ 1: xác định tham số m sao cho phương trình:
có 2 nghiệm trái dấu.
Ví dụ 2:Cho phương trình x2 – 2x + m – 2 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Ứng dụng định lý Viet
Nhẩm nghiệm của phương trình.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng.
Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho 2 nghiệm này độc lập đối với tham số m.
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức nghiệm đã cho.
Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.

end