Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

BÀI TẬP ÔN
1. Cho phương trình: có một trong các nghiệm bằng 3. Tìm hệ số k và nghiệm còn lại.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình:

theo m.
3. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a.

HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG
HỆ THỨC VIET: Là một hệ thức liên quan giữa nghiệm của phương trình bậc hai
ax2 + bx + c = 0 và các hệ số của phương trình này.
2. CHỨNG MINH HỆ THỨC: Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) có biệt thức
Δ ≥ 0, tức là phương trình (*) có nghiệm, ta gọi hai nghiệm đó là x1 và x2. Ta có:

Vậy:
đây là hệ thức Viét
Ví dụ áp dụng: (?2 ) và (?3 ) trong sách giáo khoa trang 51.
→Nếu pt ax2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = 1 thì nghiệm còn lại
là và a +b +c = 0
→Nếu pt ax2 + bx +c = 0 có một nghiệm x = -1 thì nghiệm còn lại

là và a –b + c = 0
3. ỨNG DỤNG HỆ THỨC VIÉT:
* TÌM HAI SỐ KHI BiẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG:
Giả sử ta có hai số x1, x2 có tổng là S và tích là P. Vậy:
Từ đó ta thấy: nếu Δ = (-S)2 - 4P = S2 - 4P ≥ 0 thì pt trên có nghiệm và các nghiệm này chính là hai số cần tìm. Và đây chính là bất đẳng thức mà S và P phải thoã mãn để tìm hai số.
Nên x2 là nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P =0.Tương tự ta cũng có: .Vậy x1 cũng là nghiệm của phương
trình: x2 – Sx + P = 0
Ví dụ: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là 7 và tích của chúng là 12.
XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM:
Cho phương trình ax2 +bx + c =0 ( a ≠ 0 ). Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu ( Khi đó chắc chắn Δ > 0 vì a và c trái dấu ) thì
phương trình có hai nghiệm trái dấu. Vậy P < 0 thì x1x2 < 0
+ Nếu Δ > 0, P > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu
+ Nếu Δ > 0, P > 0, S > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương
+ Nếu Δ > 0, P > 0, S < 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng âm


Ví dụ áp dụng: Bài 1: Cho pt x2 – 2(k-1)x + 2k - 5 = 0
a./ Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi k
b./ Tìm k để pt có hai nghiệm cùng dấu, khi đó hai nghiệm
mang dấu gì?
c./ Tìm k để pt có tổng hai nghiệm bằng 6. Tìm hai nghiệm đó.
Bài 2: Xác định k để pt x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn:
a./ b./ c./