Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Chia sẻ bởi Nguyễn Thị Thảo |
Ngày 05/05/2019 |
41
Chia sẻ tài liệu: Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng thuộc Đại số 9
Nội dung tài liệu:
KÍNH CHÀO QUÝ THẦY CÔ GIÁO
Đến dự giờ lớp 9B
1, Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trong trường hợp > 0 ?
Khi > 0: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt:
1, Với = b2 – 4ac
Đáp án:
2, Giải phương trình : a, 2x2 - 5x + 3 = 0 . b, 3x2 + 7x + 4 = 0
2, a, 2x2 - 5x + 3 = 0 (a=2 ,b= -5 ,c=3)
= b2 – 4ac= (-5)2 -4.2.3 =25 -24=1 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
b, 3x2 + 7x + 4 =0 ( a=3,b=7,c= 4)
= b2 – 4ac = 72 – 4.3.4 = 49-48 =1>0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm:
Hãy tính a) x1 + x2
b) x1.x2
?
Đáp án:
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét:
Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603) tại Pháp.
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển mạnh.
- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng.
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét
Δ = .........
x1+ x2 =..........
x1. x2 =...........
Δ = .........
x1+ x2 =..........
x1. x2 =...........
Bài tập 25(Sgk/52): D?i v?i m?i phuong trỡnh sau, kớ hi?u x1 v� x2 l� hai nghi?m (n?u cú). Khụng gi?i phuong trỡnh, hóy di?n v�o nh?ng ch? tr?ng (.)
a, 2x2 - 17x + 1 = 0
(-17)2 – 4.2.1 = 281 > 0
c, 8x2 - x + 1 = 0
(-1)2 – 4.8.1= -31 < 0
Không có giá trị
Không có giá trị
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét : ( SGK )
*T.Quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 2x2 - 5x + 3 = 0
a, Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
? 2 – SGK:
Ta có a =
a + b + c =
2
-5
3
2 + (-5) + 3
= 0
Thay x1= 1 vào VT của PT ta có:
VT = 2.12 - 5.1 + 3 = 0
Vậy x1= 1 là một nghiệm của PT.
Theo định lý Vi-ét thỡ:
Mà x1 = 1
a,
b,
c,
= VP
; b =
; c =
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét : ( SGK )
*T.Quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 3x2 + 7x + 4 = 0
a, Chỉ rõ các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b, Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c, Tìm x2.
? 3 – SGK:
Ta có a = ; b = ; c =
a - b + c =
3
7
4
3 - 7 + 4
= 0
Thay x1= -1 vào VT của PT ta có:
VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 = VP
Vậy x1= -1 là một nghiệm của PT.
Theo định lý Vi-ét thỡ:
Mà x1= -1
a,
b,
c,
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
? 4 Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) -5x2 + 3x + 2 = 0
b) 2004x2 + 2005x +1 = 0
Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
Vậy x1 = 1;
Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
Vậy x1 = -1;
x2 =
x2 =
( a = -5 ,b = 3 , c = 2 )
( a = 2004 , b = 2005 , c = 1 )
4 đ
4 đ
2 đ
4 đ
4 đ
( Hoạt động nhóm: 3 phút )
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là (S - x).
Tích hai số bằng P nên: x(S – x) = P
x2 – Sx + P = 0 (1)
Nếu = S2 – 4P ≥ 0 thì PT (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là các số cần tìm.
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – 27x + 180 = 0
x1 = 15 ; x2 = 12.
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
= (-27)2 - 4.1.180 = 9
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét :
*T.Quát 1: ( SGK )
*T.Quát 2: (SGK )
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
? 5 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x2 – x + 5 = 0.
= (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < 0
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1, tích bằng 5.
( SGK )
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0.
Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6
nên x1 = 2, x2 =3 là hai nghiệm của PT đã cho.
Hướng dẫn về nhà
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.
Cảm ơn các thầy cô đã đến dự tiết học !
Chúc các em tiến bộ hơn trong học tập !
Đến dự giờ lớp 9B
1, Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình trong trường hợp > 0 ?
Khi > 0: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt:
1, Với = b2 – 4ac
Đáp án:
2, Giải phương trình : a, 2x2 - 5x + 3 = 0 . b, 3x2 + 7x + 4 = 0
2, a, 2x2 - 5x + 3 = 0 (a=2 ,b= -5 ,c=3)
= b2 – 4ac= (-5)2 -4.2.3 =25 -24=1 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
b, 3x2 + 7x + 4 =0 ( a=3,b=7,c= 4)
= b2 – 4ac = 72 – 4.3.4 = 49-48 =1>0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm:
Hãy tính a) x1 + x2
b) x1.x2
?
Đáp án:
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét:
Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603) tại Pháp.
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn, các hệ số của phương trình và dùng chúng để biến đổi và giải phương trình nhờ cách đó mà nó thúc đẩy Đại số phát triển mạnh.
- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị gia nổi tiếng.
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét
Δ = .........
x1+ x2 =..........
x1. x2 =...........
Δ = .........
x1+ x2 =..........
x1. x2 =...........
Bài tập 25(Sgk/52): D?i v?i m?i phuong trỡnh sau, kớ hi?u x1 v� x2 l� hai nghi?m (n?u cú). Khụng gi?i phuong trỡnh, hóy di?n v�o nh?ng ch? tr?ng (.)
a, 2x2 - 17x + 1 = 0
(-17)2 – 4.2.1 = 281 > 0
c, 8x2 - x + 1 = 0
(-1)2 – 4.8.1= -31 < 0
Không có giá trị
Không có giá trị
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét : ( SGK )
*T.Quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 2x2 - 5x + 3 = 0
a, Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
? 2 – SGK:
Ta có a =
a + b + c =
2
-5
3
2 + (-5) + 3
= 0
Thay x1= 1 vào VT của PT ta có:
VT = 2.12 - 5.1 + 3 = 0
Vậy x1= 1 là một nghiệm của PT.
Theo định lý Vi-ét thỡ:
Mà x1 = 1
a,
b,
c,
= VP
; b =
; c =
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét : ( SGK )
*T.Quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là
Cho PT: 3x2 + 7x + 4 = 0
a, Chỉ rõ các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b, Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c, Tìm x2.
? 3 – SGK:
Ta có a = ; b = ; c =
a - b + c =
3
7
4
3 - 7 + 4
= 0
Thay x1= -1 vào VT của PT ta có:
VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 = VP
Vậy x1= -1 là một nghiệm của PT.
Theo định lý Vi-ét thỡ:
Mà x1= -1
a,
b,
c,
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
? 4 Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) -5x2 + 3x + 2 = 0
b) 2004x2 + 2005x +1 = 0
Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
Vậy x1 = 1;
Có a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
Vậy x1 = -1;
x2 =
x2 =
( a = -5 ,b = 3 , c = 2 )
( a = 2004 , b = 2005 , c = 1 )
4 đ
4 đ
2 đ
4 đ
4 đ
( Hoạt động nhóm: 3 phút )
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là (S - x).
Tích hai số bằng P nên: x(S – x) = P
x2 – Sx + P = 0 (1)
Nếu = S2 – 4P ≥ 0 thì PT (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là các số cần tìm.
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi - ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – 27x + 180 = 0
x1 = 15 ; x2 = 12.
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
= (-27)2 - 4.1.180 = 9
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét :
*T.Quát 1: ( SGK )
*T.Quát 2: (SGK )
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
? 5 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Hai số cần tìm là nghiệm của PT: x2 – x + 5 = 0.
= (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < 0
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1, tích bằng 5.
( SGK )
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 57:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí Vi – ét :
*T.Quát 1: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*T.Quát 2: Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0.
Giải: Vì 2 + 3 = 5; 2.3 = 6
nên x1 = 2, x2 =3 là hai nghiệm của PT đã cho.
Hướng dẫn về nhà
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.
Cảm ơn các thầy cô đã đến dự tiết học !
Chúc các em tiến bộ hơn trong học tập !
* Một số tài liệu cũ có thể bị lỗi font khi hiển thị do dùng bộ mã không phải Unikey ...
Người chia sẻ: Nguyễn Thị Thảo
Dung lượng: |
Lượt tài: 1
Loại file:
Nguồn : Chưa rõ
(Tài liệu chưa được thẩm định)