Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

NHIệT LIệT CHàO MừNG CáC THầY CÔ GIáO Và CáC EM HọC SINH Về Dự CHUYÊN Dề TOáN 9
Trần Thị Lan
THCS Đông Cao
CHUYÊN Dề
"ứNG DụNG DịNH Lý VI-éT VàO GIảI TOáN Có LIÊN QUAN DếN PHƯƠNG TRèNH BậC HAI MộT ẩN"
phÇn 1. më ®Çu

1. Lí do chọn chuyên đề
Trong chương trình sách giáo khoa mới Toán 9 – tập 2 THCS , học sinh được làm quen với phương trình bậc hai và các cách giải phương trình bậc hai , đặc biệt là sử dụng định lý Vi-ét vào việc giải toán có liên quan đến phương trình bậc hai . Đây là nội dung quan trọng của môn đại số 9. Nhưng phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), do đó đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viét và một số ứng dụng rộng rãi của định lí đó vào giải các bài toán lên quan đến phương trình bậc hai một ẩn. Để giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh trong dịp ôn thi học kỳ II và thi vào lớp 10 PTTH một cách có hiệu quả nên chúng tôi thực hiện chuyên đề này.
2.Cấu trúc chuyên đề gồm: 4 phần

Phần1: Lý thuyết liên quan đến chuyên đề
Phần 2: Một số bài tập vận dụng
Phần 3: Bài học kinh nghiệm
Phần 4: Bài tập thu hoạch
phần 2. nội dung
A/Lý thuy?t:
I- N?i dung ki?n th?c cú liờn quan d?n chuyờn d? :
1 - Di?u ki?n v? nghi?m c?a phuong trỡnh b?c hai m?t ?n ax2 + bx + c = 0 (*).

a) N?u ? < 0 thỡ (*) vụ nghi?m
b) N?u ? = 0 thỡ (*) cú nghi?m kộp:
c) N?u ? > 0 thỡ (*) cú 2 nghi?m phõn bi?t:

2 - Nội dung của đinh lí Vi-ét và ứng dụng của nó
- Hệ thức Vi-ét :
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có 2 nghiệm x1 , x2 thì hai nghiệm đó có:
+ Tổng S =
+ Tích P = x1.x2 =
- Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có
a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là :
x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 = .
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có
a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là :
x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 =.
II/ Các dạng toán thường gặp trong việc áp dụng định lý Vi-et
1 - Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp: a + b + c = 0 ; a – b + c = 0
2 - Tính tổng và tích các nghiệm
3 - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
4 - Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó.
5 - Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai .
6 - Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước .
7 - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai
8 - Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số
B/ Bài tập:
Bµi to¸n 1. Ứng dụng định lí vi-ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai .
Phương pháp giải
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có
a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 =
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có
a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là :
x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 =
Một số ví dụ
VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a, 2x2 + 3x + 1= 0
b, -5x2 + 3x + 2 = 0
c, 2004x2 + 2005x + 1 = 0
d, 7x2 - 3x - 4 = 0
e, 3x2 + 9x + 6 = 0
Hướng dẫn
a, 2x2 + 3x + 1= 0.Ta có 2 - 3 + 1= 0
=> Pt có dạng a - b + c = 0 nên có nghiệm x1 = -1 ; x2 =
b,-5x2 +3x +2= 0.Ta có(- 5) + 3+ 2= 0
Pt có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = 1 và x2 =-
c, 2004x2 + 2005x + 1= 0
Ta có 2004 – 2005 + 1 = 0 =>Pt có dạng a – b + c = 0
Nên có 2 nghiệm x1 = - 1 và x2 = -
d, 7x2 - 3x - 4 = 0 .
Ta có 7+(-3)+(-4) = 0 =>pt có dạng a+b + c =0 nên có nghiệm x1 = 1 ; x2 =
e, 3x2 + 9x + 6 = 0 .
Ta có 3 – 9 + 6 = 0=> Pt có dạng a - b + c = 0
nên có nghiệm x1 = - 1 ; x2 = - 2
Bài toán 2. Tớnh t?ng v� tớch cỏc nghi?m
Phuong phỏp gi?i
Cho phuong trỡnh a x2+ bx + c = 0 (a ? 0 )
- Tớnh v� ch?ng t? ? ? 0 d? phuong trỡnh cú nghi?m
- �p d?ng h? th?c Vi-ột tớnh�:

+ T?ng S =

+ Tớch P = x1.x2 =
Một số ví dụ
VD1: Không giải phương trình , hãy tính tổng và tích các nghiệm số của các phương trình sau ( Nếu có ):
a) 4x2 +2x - 5 = 0
b) 5 x2 + x + 2 = 0
c) x2 -14x + 33 = 0
d) 3x2 +5x + 61 = 0
e)16x2 -13x - 48 = 0
g)x2 -x -2- = 0
Hướng dẫn giải
4 x2 + 2x - 5 = 0. Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm
=> x1 + x2 = -1/2 x1.x2 = - 5/4
b) 5 x2 + x + 2 = 0  = 1 – 4.5.2 = - 39 < 0 => PT vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích hai nghiệm
c) x2 - 14x + 33 = 0.Ta có ’ = (-7)2 - 1.33 =16 > 0 Nên PT có 2 nghiệm phân biệt => x1 + x2 = 14 ; x1.x2 = 33
d) 3 x2 + 5x + 61 = 0.
Ta có  = 25 – 4.3.61 = - 707 < 0 => PT vô nghiệm, nên không tính được tổng và tích hai nghiệm
e) 16 x2 -13x - 48 = 0 .
Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm  x1 + x2 = ; x1.x2 =-3
g) x2 - x - 2 = 0.
Vì a,c trái dấu nên pt có nghiệm  x1 + x2 = 1; x1.x2 = -2
Bài toán 3. Tỡm 2 s? bi?t t?ng v� tớch c?a chỳng: Phuong phỏp gi?i
D?a v�o d?nh lý d?o c?a d?nh lý Viet:
N?u 2 s? u v� v cú u +v = S v� u.v = P thỡ u v� v l� nghi?m c?a phuong trỡnh:
X2 - SX + P = 0 (1)
Nhu v?y vi?c tỡm 2 s? quy v? vi?c gi?i 1 phuong trỡnh (Tỡm nghi?m c?a phuong trỡnh dú ? 2 s? c?n tỡm).
Chỳ ý: N?u S2 - 4P ? 0 thỡ t?n t?i 2 s?.
N?u S2 - 4P < 0 khụng t?n t?i 2 s?.
Một số ví dụ
3.1) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 42 ; u.v = 441
b) u + v = - 42 ; u.v = - 400
c) u + v = 11 ; u.v = 28
d) u - v = 5 ; u.v = 66
e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
Hướng dẫn giải
a) u + v = 42 ; u.v = 441.
Ta có u và v là nghiệm của PT x2 - 42x + 441 = 0
’ = 212 – 441 = 441 – 441 = 0  PT có nghiệm kép
x1 = x2 = 21
 u = v = 21
b) u + v = - 42 ; u.v = - 400 .
Ta có u và v là nghiệm của PT x2 + 42x – 400 = 0
’ = 212 + 400 = 841  = 29
=> PT có hai nghiệm phân biệt x1 = 8; x2 = -50
 u = 8 ; v = -50 hoặc u = -50; v = 8
c) u + v = 11 ; u.v = 28 .
Ta có u và v là nghiệm của PT x2 - 11x + 28 = 0
Giải pt ta được u =7; v =4 hoặc u = 4 ; v = 7
d) u - v = 5 ; u.v = 66 .
e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12

u - v = 5 ; u.v = 66 .
Đặt V = -v ta có u + V = 5 ; u.V = - 66
u và v là nghiệm của PT x2 - 5x - 66 = 0
Giải pt ta được u = - 6 ; V =11 hoặc u = 11 ; V= - 6
Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(-6;-11) ; ( 11;6)
e) u2 + v2 = 25 ; u.v = 12
Ta có (u+v)2 = u2 + v2+ 2uv = 25 + 24 = 49 => u + v = ±7
*TH1: u + v = 7 ; u.v = 12.
Ta có u và v là nghiệm của PT x2 - 7x + 12 = 0
Giải pt ta được u =3; v =4 hoặc u = 4 ; v = 3
* TH2: u + v = -7 ; u.v = 12.
Ta có u và v là nghiệm của x2 + 7x + 12 = 0
Giải pt ta được u =-3; v =-4 hoặc u = -4 ; v = -3
Vậy các cặp (u,v) cần tìm là :(3;4) ; ( 4;3) ; (-3;-4) ; ( -4;-3)
3.2) Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a2.
Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v
(u > 0,v > 0).
Ta có: 2u +2v = 6a, u.v = 2a2
 u + v = 3a; u.v = 2a2
Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2.
t2 - 3at + 2a2 = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a
Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a.
Bµi to¸n 4. Lập phương trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó :
Phương pháp giải
Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet).
Nếu x1 + x2 = S ; x1 . x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P  0)
Một số ví dụ
Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số 7 và 3
Hướng dẫn
Ta có tổng  S = 7+ 3 =10 và tích P = 7.3 = 21
Vậy 7 và 3 là hai nghiệm của pt : x2 - 10x + 21 = 0
Ví dụ 2: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là cặp số và
Hướng dẫn
Ta có tổng  S = + = 2 và
tích P =( ).( ) = -1
Vậy và là hai nghiệm của pt : x2 - 2x -1 = 0

Bµi to¸n 5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
Phương pháp giải
Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình
ax2 + bx + c = 0 (a  0) dựa trên kết quả:
Nếu  phương trình có 2 nghiệm trái dấu
x1<0 Nếu  phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.

Nếu  phương trình có 2 nghiệm dương
0 < x1  x2

Nếu  phương trình có 2 nghiệm âm:
x1  x2 < 0
Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình:
mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1)
Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn
Với m  0 khi đó để (1) có hai nghiệm trái dấu
thì < 0 hay 0 < m < 4
Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai:
x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0.(1)
a, Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b, Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Hướng dẫn
a, Ta có pt x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0.
Có:Δ’ =
= m2 - 2m + 1 - 2m + 3
= m2 - 4m + 4 = (m-2)2 ≥ 0 với mọi m.
Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b, Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
 a.c < 0 hay 2m-3 < 0 <=> m <

Vậy : với m < thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Ví dụ 3 : Cho ph­¬ng trình:
X2 - ( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
Tìm m ®Ó ph­¬ng trình (*) cã 2 nghiÖm ©m.
Hướng dẫn
ĐÓ ph­¬ng trình cã hai nghiÖm ©m thì:

Bài toán 6. Xỏc d?nh tham s? d? phuong trỡnh b?c hai cú nghi?m th?a món di?u ki?n cho tru?c .
Phuong phỏp gi?i :
Cú th? th?c hi?n qua cỏc bu?c sau:
* Bu?c 1: Tỡm di?u ki?n c?a tham s? d? phuong trỡnh dó cho cú nghi?m x1 , x2
* Bu?c 2: ỏp d?ng h? th?c Viet, ta cú:
(*)


* Bu?c 3: K?t h?p (*) v?i di?u ki?n (H? th?c cho tru?c) suy ra phuong trỡnh cú ?n l� tham s? t? dú tỡm du?c tham s? v� k?t lu?n .
(Chỳ ý c?n d?i chi?u tham s? c?n tỡm du?c v?i di?u ki?n d? phuong trỡnh d?u cú nghi?m s?).
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho ph­¬ng trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3 = 0 (1) ; m lµ tham sè.
Tìm m ®Ó ph­¬ng trình (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia.
Hướng dẫn
Ph­¬ng trình (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi Δ’ ≥ 0.
(m - 1)2 - m2 -3 ≥ 0 4 - 2m ≥ 0 m 2.
Víi m 2 thì (1) cã 2 nghiÖm.
Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a thì nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet , ta cã:


a = => 3( )2 = m2 – 3 m2 + 6m – 15 = 0
m = –3 ± 2 (thỏa m·n ®iÒu kiÖn).
Ví dụ 2. Cho ph­¬ng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Kh«ng gi¶i ph­¬ng trình, tìm m ®Ó ph­¬ng trình cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3 x1 - 4 x2 = 11
Hướng dẫn
ĐÓ ph­¬ng trình cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 thì  > 0
<=>(2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 . Tõ ®ã suy ra m  1,5 (1)
MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã:







Gi¶i ph­¬ng trình
ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2)
Đèi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 thì ph­¬ng trình ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt thỏa mãn
3 x1 - 4 x2 = 11
Ví dụ 3. X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ph­­¬ng trình
x2 -(m+5)x- m + 6 = 0 Cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iÒu kiÖn sau:
a) NghiÖm nµy lín h¬n nghiÖm kia mét ®¬n vÞ.
b) 2 x1 +3 x2 =13
Hướng dẫn
a) Ta cã
ĐÓ PT cã hai nghiÖm ph©n biÖt thì m => m  -11 vµ
m => m ≥ 3
Gi¶ sö x2 > x1 ta cã HPT

Gi¶i HPT ta ®­îc m = 0 vµ m = -14 (TMĐK)
b) Theo gi¶ thiÕt ta cã


Gi¶i HPT ta ®­îc m = 0 vµ m = 1 (TMĐK)
Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để
Hướng dẫngiải
Ta có: ` = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó ta có S = x1+ x2 = 2m và P = x1. x2 = –1.
Do đó  S2– 3P = 7
 (2m)2 + 3 = 7  m2 = 1  m =  1.
Vậy m thoả yêu cầu bài toán  m =  1.
Bµi to¸n7. Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai .
Phương pháp giải
Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng với nhau nếu ta thay x1bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P.
Ví dụ:




Từ hệ thức Vi-ét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng rồi tính
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức:
; ; ;
Hướng dẫn giải
Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không.
 =25- 8 =17>0  Phương trình có 2 nghiệm x1  x2
Suy ra:
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2.
Tính giá trị của biểu thức S = + .
Hướng dẫn giải
Tính được x1+ x2 = 2 và x1. x2 = – 1.
Biến đổi:

S = = = – 6.
Vớ d? 3. Cho phương trỡnh .
Với nh?ng giá trị nào của m thỡ phương trỡnh (1) có hai nghiệm phân biệt ? Khi đó gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giá trị của
m d?
Hu?ng d?n gi?i
Dể PT có hai nghiệm phân biệt thỡ


Khi đó ta có x12+ x22 =(x1+ x2)2 -2 x1. x2 = 31
ỏp dụng hệ thức vi ét ta được
(-3)2 - 2m =31
thỏa mãn đi?u kiện m < 9/4
Bài toán 8. Tỡm h? th?c gi?a cỏc nghi?m x1 ,x2 c?a phuong trỡnh b?c hai khụng ph? thu?c tham s?
Phuong phỏp gi?i
D? tỡm h? th?c liờn h? gi?a cỏc nghi?m khụng ph? thu?c tham s? trong 1 phuong trỡnh b?c 2 (Gi? s? tham s? l� m) ta cú th? th?c hi?n theo cỏc bu?c sau:
- Tỡm di?u ki?n c?a m d? phuong trỡnh cú 2 nghi?m x1 v� x2 l�:

- ỏp d?ng h? th?c Viet ta du?c (*)

- Kh? m t? h? (*) ta du?c h? th?c c?n tỡm (S? d?ng phộp th? ho?c c?ng).
Vớ d?. Cho phương trỡnh x2 - 2mx + m2 - 4 = 0. Tỡm hệ thức liên hệ gi?a x1 ,x2 không phụ thuộc vào m.
Hu?ng d?n gi?i
Xét phương trỡnh x2 - 2mx + m2 - 4 = 0
Phương trỡnh có 2 nghiệm ? ?`= m2 - m2 + 4 > 0
? 4 > 0 với mọi m
Vậy phuơng trỡnh luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có: (1)
(2)

Từ (1)và (2)? (x1 +x2)2 - 4 x1.x2 = 4 m2 - 4 m2+16 = 16
? (x1 +x2)2 - 4 x1.x2 =16
Vậy hệ thức cần tỡm là: (x1 +x2)2 - 4 x1.x2 =16
Bài học kinh nghiệm
1)Khi giải các phương trình bậc hai một ẩn trước tiên ta nên kiểm tra xem chúng có dạng a + b + c = 0 hay a - b + c = 0 không

2)Nếu không có dạng đặc biệt a + b + c = 0 hay a - b + c = 0 thì kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không bằng cách xem hệ số a và c có trái dấu không nếu cùng dấu ta tính Δ hoặc, `

3) Khi gặp những bài toán có liên quan đến sử dụng định lý Vi-ét các em cần bình tĩnh xem xét bài toán ở dạng nào trong 8 dạng bài tập trên để tìm cách giải hợp lý nhất
C/ Một số bài tập vận dụng:
1. Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn
x1+ 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
2. Kh«ng gi¶i ph­¬ng trình h·y tÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm , cña ph­¬ng trình bËc hai nÕu cã
a, x2-5x- 6= 0 b, x2- 5x+3=0 c, 3x2- 4x+3= 0 d, 2x2- 7x+3 = 0
3. Cho ph­¬ng trình x2- 10x+15 = 0 kh«ng gi¶i ph­¬ng trình . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau( Víi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng trình x1< x2 )
a) b) c) (d)
4. Cho ph­¬ng trình x2 + mx-m2 – 8 = 0. Tìm m ®Ó ph­¬ng trình cã hai nghiÖm tho¶ m·n: x12 + x21 = 25
5. Cho phương trỡnh x2 - mx + m -1= 0. Tỡm m để phương trỡnh có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 = 1
6. Tỡm hệ thức liên hệ gi?a x1 , x2 không phụ thuộc vào m d?i v?i cỏc phuong trỡnh sau :
a) x2-(2-m)x + m2 - 4 = 0
b) (m- 4) x2 - 2mx + m - 4 = 0
c) x2 -2 (m+1)x + 2 m2 - 2 = 0
d) x2 - (m+1)x + m + 4 =
7. Cho phương trỡnh: m x2 - 2(m-1) + 2m -5 = 0
a) Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh bậc hai có hai nghiệm trái dấu.
b) Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh bậc hai có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt.
d) Tỡm điều kiện của m để phương trỡnh bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt
Cám ơn quý thầy cô
và các em học sinh/