Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

HỆ THỨC VI-ÉT.
Xét PT: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) với   0, ta có:
?1
Hãy tính x1 + x2 , x1x2.
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

ĐỊNH LÍ VI-ÉT:
Chú ý:
Vận dụng định lí Vi-ét khi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm, tức là  ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0.
?2
Cho phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
b) Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
?3
Cho phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng tỏ rằng x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x2.
Ta có: a = 2, b = -5, c = 3
a + b + c = 2 + (-5) +3 = 0
b) Thay x1 = 1 vào vế trái của phương trình ta được: 2.12 - 5.1+ 3 = 0 nên x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
hay
Ta có: a = 3, b = 7, c = 4
a - b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b) Thay x1 = -1vào vế trái của phương trình ta được: 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 => x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
hay
?2
?3
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là .

a) Tổng quát 1:
b) Tổng quát 2:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là

a + b + c = 0
a - b + c = 0
x1 = 1
x1 = -1
Bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x
x(S - x) = P
Theo giả thiết ta có phương trình
Nếu  = S2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm.
Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
thì số thứ hai là
S - x.
hay x2 – Sx + P = 0 (1)
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình
x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0.
I. Hệ thức Vi-ét
1) Định lí Vi-ét
2) Ứng dụng:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = .

a) Tổng quát 1:
b) Tổng quát 2:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì
phương trình có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là x2 =

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

II. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình
x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0.
3 . x2 - 3 x - 4 = 0 có nghiệm là x1 = - 1, x2 = 4
Bài tập. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?
1
2
4
3
V
I
E
T
Đ
Đ
Đ
S
Phrăng-xoa Vi-ét (F. Viète) là một nhà Toán học – một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp ( 1540 – 1603 ). Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai.
Làm các bài tập 25, 26, 27, 28 Tr. 53 SGK.
Đọc mục “có thể em chưa biết” Tr. 53 SGK.
Xem trước các bài tập 29, 30, 31, 32, 33 Tr. 54 SGK chuẩn bị tiết sau luyện tập.
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT
Chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo. Chúc sức khoẻ các thầy cô !
Bài tập 25. (Tr.52-53 sgk) Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...)
a) 2x2- 17x+1= 0, ? =...... x1+x2=...... x1.x2=...........
b) 5x2- x- 35 = 0, ? =...... x1+x2=...... x1.x2=...........
c) 8x2- x+1=0, ? =...... x1+x2=...... x1.x2=...........
d) 25x2 + 10x+1= 0, ? =...... x1+x2=...... x1.x2=...........