Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

GIỜ TOÁN ĐẠI SỐ 9
nhiệt liệt chào mừng các thầy cô giáo về dự
Giải phương trình: x2 – 6 x + 5 = 0
Giải:
KIỂM TRA BÀI CŨ
’= b’2 – ac = 9 – 5 = 4 > 0
Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:
Ta có : a = 1 , b’= - 3 , c = 5

BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
Pương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
?1 Hãy tính : x1+x2 = ? ; x1. x2= ?
Giải
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
PT: ax2 + bx +c = 0 có nghiệm
?1 Hãy tính : x1+x2 = ? ; x1. x2= ?
Giải
*Định lí Vi-ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0
(a ≠ 0) thì:
*Áp dụng:
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
Nhờ định lí Vi-ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia.
*Định lí Vi-ét
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0
(a ≠ 0) thì:
?2. Cho phương tình 2x2 – 5x + 3 = 0
a/ Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a+b+c
b/ Chứng tỏ rằng x1=1 là một nghiệm của phương trình.
c/ Dùng định lí Vi-ét để tìm x2 .
*Áp dụng:
Giải:
a/ Ta có: a = 2 , b = -5 , c = 3.
 a + b + c = 2 +(-5) + 3 = 0
b/ Thay x1=1 vào phương trình ta có:
2.(1)2 – 5.1 + 3 = 2 – 5 + 3 = 0
Vậy x1=1 là một nghiệm của phương tình.
c/ Ta có: x1 . x2 =
=
 x2=
Tổng quát 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1=1, còn nghiệm kia là x2=
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét
Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0
(a ≠ 0) thì:
?3. Cho phương tình 3x2 + 7x + 4 = 0
a/ Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a-b+c
b/ Chứng tỏ rằng x1= -1 là một nghiệm của phương trình.
c/ Tìm nghiệm x2 .
*Áp dụng:
Giải:
a/ Ta có: a = 3 , b = 7 , c = 4.
 a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0
b/ Thay x1= -1 vào phương trình ta có:
3.(-1)2 + 5.(-1) + 3 = 3 – 7 + 4 = 0
Vậy x1= -1 là một nghiệm của phương tình.
c/ Ta có: x1 . x2 =
=
 x2=
+ Tổng quát 1: (SGK)
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a-b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1= -1 , còn nghiệm kia là x2=
+ Tổng quát 2:
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét: SGK
?4. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình.
a/ -5x2 + 3x + 2 = 0
*Áp dụng:
Giải:
a/ Ta có: a = -5 , b = 3 , c = 2.
 a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0
 x1= 1
; x2=
+ Tổng quát 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a-b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 , còn nghiệm kia là x2=
+ Tổng quát 2:
b/ 2004x2 + 2005x + 1 = 0
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 , còn nghiệm kia là x2=
=
b/ Ta có: a = 2004 , b = 2005 , c = 1.
 a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
 x1= - 1
; x2=
=
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét: SGK
Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách tính tổng và tích của hai nghiệm phương trình bậc hai.
*Áp dụng:
+ Tổng quát 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a-b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 , còn nghiệm kia là x2=
+ Tổng quát 2:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 , còn nghiệm kia là x2=
Ngược lại, nếu biết tổng và tích của hai số thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào ?
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét: SGK
Giả sử hai số cần tìm có tổng là S, tích là P.
*Áp dụng:
+ Tổng quát 1: (SGK)
+ Tổng quát 2: (SGK)
Nếu gọi số này là : x
2. Tìm hai số biết tổng
và tích của chúng
Thì số còn lại là : S – x
Vì tích của hai số này là P, nên ta có :
x.(S – x) = P
 x.S – x2 = P
 x2 – x.S + P = 0
Nếu  = S2 – 4P ≥ 0 thì (1) có nghiệm. Các nghiệm đó chính là hai số cần tìm.
(1)
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 – xS + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là:
S2 – 4P ≥ 0
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét: SGK
Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng bằng 27, tích bằng 180.
*Áp dụng:
+ Tổng quát 1: (SGK)
+ Tổng quát 2: (SGK)
Giải:
2. Tìm hai số biết tổng
và tích của chúng
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình:
x2 – 27x + 180 = 0
Ta có:  = (-27)2 – 4.1.180 = 9
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 – xS + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là:
S2 – 4P ≥ 0
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét: SGK
?5: Tìm hai số biết tổng bằng 1, tích bằng 5.
*Áp dụng:
+ Tổng quát 1: (SGK)
+ Tổng quát 2: (SGK)
Giải:
2. Tìm hai số biết tổng
và tích của chúng
Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình:
x2 – x + 5 = 0
Ta có:  = (-1)2 – 4.1.5 = -19 < 0
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 – xS + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là:
S2 – 4P ≥ 0
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào thoả mãn đề bài.
BÀI 6: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. Hệ thức Vi-ét
*Định lí Vi-ét: SGK
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0.
*Áp dụng:
+ Tổng quát 1: (SGK)
+ Tổng quát 2: (SGK)
Giải:
2. Tìm hai số biết tổng
và tích của chúng
Vì 2+3 = 5 và 2.3 = 6 nên x1=2, x2=3 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 – xS + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là:
S2 – 4P ≥ 0
Hệ thức vi-ét và ứng dụng
Áp dụng:
ax2 + bx + c = 0
Phrăng-xoa (F. Viète) sinh năm 1540 tại Pháp. Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn và các hệ số của phương trình, đồng thưòi dùng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà đại số đã phát triển mạnh mẽ.
F. Viète
Có thể em chưa biết ?
Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình mà ta vừa học. Ông còn nổi tiếng trong việc giải mật mã. Trong cuộc chiến tranh giữa Pháp và Tây Ban Nha hồi thế kỉ thứ XVI, vua Hen-ri IV đã mời ông giải những bản mật mã lấy được của quân Tây Ban Nha. Nhờ đó mà quân Pháp đã phá được nhiều âm mưu của đối phương. Vua Tây Ban Nha Phi-lip II đã tuyên án thiêu sống ông trên dàn lửa. Tuy nhiên, họ không bắt được ông.
Ngoài việc làm toán, vi-ét còn là một luật sư và một chính trị gia nổi tiếng. Ông mất năm 1603
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Học thuộc định lí vi-ét
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c = 0
- Nắm vững cách tìm hai số biết tổng và tích.
- Bài tập về nhà: 26 ; 27 SGK Tr 53.