Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

tiết 56: Hệ thức vi ét và ứng dụng
GV: Cáp Thị Thắng
Tổ KHTN - Trường THCS Mỹ Thái
kiểm tra bài cũ:
Giải phương trình 2x2 + 5x - 7 = 0
Giải
Có a = 2; b = 5; c = -7
Xét phuong trỡnh 2x2 + 5x - 7 = 0
Δ = 52 – 4.2.(-7) = 25 – (- 56) = 81 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Phrăng xoa - Vi ét sinh năm 1540 tại Pháp.Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn và cả các hệ số của phương trình, đồng thời dùng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh mẽ.
Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình b?c hai. Ông còn nổi tiếng trong việc giải mật mã. Trong cuộc chiến tranh giữa Pháp và Tây Ban Nha hồi cuối thế kỷ XVI vua Hen - ri IV đã mời ông giải những bản mật mã lấy được của quân Tây Ban Nha. Nhờ đó mà quân Pháp đã phá được nhiều âm mưu của đối phương. Vua Tây Ban Nha Phi - líp II đã tuyên án thiêu sống ông trên giàn lửa. Tuy nhiên, họ không bắt được ông. Ngoài việc làm toán, Vi - ét còn là một luật sư và một chính trị gia nổi tiếng. Ông mất năm 1603
Phrăng xoa - Vi ét
(1540 - 1603)
Tiết 56. Hệ thức vi - ét và ứng dụng
1. Hệ thức vi- ét
?1
Định lí vi- ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c = 0 (a ? 0)
Hãy tính : x1+x2, x1. x2
thì
Cho phương trình bậc hai :
ax2+ bx + c = 0 (a ? 0) có nghiệm thì đều có thể viết các nghiệm đó dưới dạng:
x1+ x2 =
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí VI-ÉT:

x1+ x2 =..........

x1. x2 =...........
x1+ x2 =..........

x1. x2 =...........
Bài tập 1 D?i v?i m?i phuong trỡnh sau, kớ hi?u x1 v� x2 l� hai nghi?m (n?u cú). Khụng gi?i phuong trỡnh, hóy di?n v�o nh?ng ch? tr?ng (.).
a, 2x2 - 17x + 1 = 0
(-17)2 – 4.2.1
= 281 > 0
b, 8x2 - x + 1 = 0
(-1)2 – 4.8.1
= -31 < 0
Không có giá trị
Không có giá trị
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
? = .........
? = .........
c, 25x2 + 10x + 1 = 0
? = .........
102 – 4.25.1 = 0

x1+ x2 =..........

x1. x2 =...........
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
ĐẠI SỐ 9
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí VI-ÉT:
1. Cho phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0
a, Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
Hoạt động nhóm
Dãy 1, 2, 3
2. Cho phương trình : 3x2 + 7x + 4 = 0
a, Xác định rõ các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b, Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
Dãy 4, 5, 6
* áp dụng
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí VI-ÉT:
*Tổng quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
1. Cho phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0
a, Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b, Chứng tỏ x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
Ta có a =
a + b + c =
2
-5
3
2 + (-5) + 3
= 0
Thay x1= 1 vào VT của phuong trỡnh ta có:
VT = 2.12 - 5.1 + 3 = 0
Vậy x1 = 1 là một nghiệm của phuong trỡnh.
Theo định lý Vi-ét thỡ:
Mà x1 = 1
a,
b,
c,
= VP
; b =
; c =
Dãy 1, 2, 3
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí VI-ÉT:
Ta có a = ; b = ; c =
a - b + c =
3
7
4
3 - 7 + 4
= 0
Thay x1= -1 vào VT của phương trinh ta có:
VT = 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 = VP
Vậy x1= -1 là một nghiệm của phuong trỡnh.
Theo định lý Vi-ét thỡ:
Mà x1 = -1
a,
b,
c,
*Tổng quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
2.Cho phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0
a, Xác định rõ các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b, Chứng tỏ x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c, Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
Dãy 4, 5, 6
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
ĐẠI SỐ 9
HỆ THỨC VI-ÉT:
* Định lí VI-ÉT:
*Tổng quát 1: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là
*Tổng quát 2: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, còn nghiệm kia là
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:
áp dụng
1. Hệ thức vi - ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0 (a ? 0) thì

Tổng quát 2:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ? 0) có a- b+ c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1= -1, còn nghiệm kia là
Tổng quát 1 :
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a? 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trinh có môt nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là
Bài 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình
a, - 5x2 + 3x + 2 = 0
b, 2004x2 + 2005x + 1 = 0
Bài giải
b, 2004x2 + 2005x + 1 = 0
có a = 2004 ,b = 2005 ,c = 1
a, -5x2 + 3x + 2 = 0 có a = -5, b = 3, c =2
Vậy x1= 1,
=> a - b + c = 2004 - 2005 + 1 = 0
=> a+ b + c = -5 + 3 + 2 = 0.
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
áp dụng
1. Hệ thức vi- ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S - x. Theo giả thiết ta có phương trình
x(S - x) = P hay x2- Sx + P=0.
Nếu ?= S2- 4P ?0,
thì phương trình (1) có nghiệm . Các nghiệm này chính là hai số cần tìm
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
áp dụng
Ví dụ1. Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình
x2_ 27x +180 = 0
Δ = 272- 4.1.180 = 729-720 = 9
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
áp dụng
1. Hệ thức vi- ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
2. Tìm hai sô biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
áp dụng
Ví dụ 2: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5
Ví dụ 3: Tính nhẩm nghiệm của phương trình x2- 5x + 6 = 0.
Giải.
Vì 2 + 3 =5; 2.3 =6 nên x1=2, x2= 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2- x + 5 = 0
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5
Δ = (-1)2 – 4.1.5 = - 19 < 0.
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
áp dụng
1. Hệ thức vi- ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c= 0(a?0) thì
Lời giải
2. Tìm hai sô biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
x2 - Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P ?0
Bài 3. Dùng hệ thức Vi- ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a, x2 - 7x + 12= 0 (1)
b, x2+7x+12 = 0 (2)
a, Vì 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên x1=3 ,x2= 4 là hai nghi?m c?a phương trình (1)
b, Vì (-3) +(- 4) = -7 và (-3).(- 4) = 12 nên x1= - 3, x2= - 4 là hai nghi?m c?a phương trình (2)
HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Ti?T 56:
Hướng dẫn về nhà
- Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 27, 28 trang 52; 53 – SGK.