Chương IV. §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

KIỂM TRA BÀI CŨ:
Nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Tính tổng x1 + x2 và tích x1.x2
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

 = b2 – 4ac

Nếu  > 0, thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì


Định lý Vi-ét:
Chú ý:
Muốn vận dụng được định lí Vi-ét thì phải chứng tỏ phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm, tức là
 ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0.
TIẾT 57. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I/ Hệ thức Vi-ét:
Phrăng-xoa Vi-ét (F. Viète) là một nhà Toán học – một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp (1540 – 1603). Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai.
Định lý Vi-ét:
TIẾT 57. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I/ Hệ thức Vi-ét:
Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 12 = 0
Ta có:  = (-7)2 – 4.12 = 1 > 0.
Áp dụng Hệ thức Vi-ét ta có:
Giải
Nhẩm nghiệm ta được: x1 = 3; x2 = 4
Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
TIẾT 57. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
?2
Cho phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
b) Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
Cho phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng tỏ rằng x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x2.
?3
Định lý Vi-ét:
I/ Hệ thức Vi-ét:
?2
Cho phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x2.
b) Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
Ta có: a = 2, b = -5, c = 3
a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0
b) Thay x1 = 1 vào vế trái của phương trình ta được: 2.12 - 5.1+ 3 = 0 nên x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
hay
Giải
Cho phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
b) Chứng tỏ rằng x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c) Tìm nghiệm x2.
?3
Ta có: a = 3, b = 7, c = 4
a - b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b) Thay x1 = -1vào vế trái của phương trình ta được: 3.(-1)2 + 7.(-1) + 4 = 0 => x1 = -1 là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Vi-ét ta có:
hay
Giải
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

TIẾT 57. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là

Tổng quát 1:
Tổng quát 2:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, còn nghiệm kia là

Định lý Vi-ét:
I/ Hệ thức Vi-ét:
Bài tập: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) -5x2 + 3x + 2 = 0
b) 2011x2 + 2012x + 1 = 0
Giải
a) -5x2 + 3x + 2 = 0
Có a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0. Nên x1 = 1; x2 = -2/5
b) 2011x2 + 2012x + 1 = 0
Có a – b + c = 2011 – 2012 + 1 = 0. Nên x = -1; x = -1/2011
Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách tính tổng và tích của hai nghiệm phương trình bậc hai.
Bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P.
Gọi số thứ nhất là x
x(S - x) = P
Theo đề bài ta có phương trình
Nếu  = S2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm.
Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.
thì số thứ hai là S - x
hay x2 – Sx + P = 0 (1)
Nếu biết tổng và tích của hai số thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào ?
TIẾT 57. HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I/ Hệ thức Vi-ét:
II/ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình
x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0.
Bài tập: Vườn hoa trường là một hình chữ nhật, có diện tích là 156m2 và chu vi là 50m. Tìm các kích thước của vườn hoa?
Bài tập: Vườn hoa trường là một hình chữ nhật, có diện tích là 156m2 và chu vi là 50m. Tìm các kích thước của vườn hoa?
Giải
Gọi các kích thước của vườn là a, b(m)
Theo đề ta có: a + b = 25; a.b = 156
a
b
Ta có: S2 – 4P = 252 – 4 . 156 = 1 > 0
Nên hai số a, b là nghiệm của phương trình
x2 – 25x + 156 = 0.
Giải ra ta được x1 = 13; x2 = 12
Vậy các kích thước của vườn hoa là 13m, 12m
Làm các bài tập 25, 26, 27, 28 Tr. 53 SGK.
Đọc mục “có thể em chưa biết” Tr. 53 SGK.
Xem trước các bài tập 29, 30, 31, 32, 33 Tr. 54 SGK chuẩn bị tiết sau luyện tập.
DẶN DÒ