Chương III. §8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Kiểm tra bài cũ
Bµi 1: Cho tam gi¸c vu«ng ABC. (Cã gãc A = 900 ), ®­êng cao AH. Chøng minh:
∆ABC~∆HBA
∆ABC~∆HAC
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC cã gãc A= 900 ;
AB=4,5 cm; AC=6 cm.. Tam gi¸c DEF cã
gãc D= 900; DE=3 cm; DF=4 cm. Hái
∆ABC vµ ∆DEF cã ®ång d¹ng víi nhau hay kh«ng ? Gi¶i thÝch.
Gi¶i:
Bµi 1: a) ∆ABC vµ ∆HBA cã
gãc A = gãc B = 900 (gt) vµ gãc B chung.
∆ABC~∆HBA (g - g)
b) ∆ABC vµ ∆HAC cã
gãc A = gãc H = 900 (gt) vµ gãc C chung.
 ∆ABC~∆HAC (g - g)

Bµi 2: ∆ABC vµ ∆DEF
cã gãc A = gãc D = 900 vµ
∆ ABC ~ ∆DEF (C.G.C)
I/ áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông.
Qua bµi trªn, h·y cho biÕt hai tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng víi nhau khi nµo ?
Tr¶ lêi:
Hai tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng víi nhau nÕu.
Tam gi¸c vu«ng nµy cã mét gãc nhän b»ng gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia. HoÆc.
Tam gi¸c vu«ng nµy cã hai c¹nh gãc vu«ng tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c kia.
VÝ dô:
∆ ABC ~ ∆A’B’C’
( gãc A=gãc A’ = 900) cã
Gãc B= gãc B’ hoÆc

.

Th× ∆ ABC ~ ∆A’B’C’
II. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.
?1
H·y chØ ra c¸c cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng trong h×nh sau:
NhËn xÐt
+ Tam gi¸c vu«ng DEF vµ tam gi¸c vu«ng D’E’F’ ®ång d¹ng v× cã:
+ Tam gi¸c vu«ng A’B’C’ cã: A’C’2=B’C’2 - A’B’2
= 52 - 22 = 25 - 4 =21  A’C’=
Tam gi¸c vu«ng ABC cã:AC2 =BC2 - AB2
= 100 - 16 = 84  AC=
xÐt ∆ A’B’C’ vµ ∆ABC cã
Nªn ∆A’B’C’~∆ABC
(c.g.c)
Ta nhËn thÊy hai tam gi¸c vu«ng A’B’C’ vµ ABC cã c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng nµy cña tam gi¸c tØ lÖ víi c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c kia, ta ®· chøng minh ®­îc chóng ®ång d¹ng th«ng qua viÖc tÝnh c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i.
Ta sÏ chøng minh ®Þnh lý th«ng qua tr­êng hîp tæng qu¸t.
Định lý 1:
NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã ®ång d¹ng.
Chøng minh:
Tõ gi¶ thiÕt (1), b×nh ph­¬ng hai vÕ ta ®­îc:

Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã:
Ta l¹i cã:B’C’2 - A’B’2=A’C’2
BC2-AB2=AC2 ( Suy ra tõ ®Þnh lya Pi-ta-go). Do ®ã:
Tõ (2) suy ra:

VËy ∆A’B’C’~∆ABC ( theo tr­êng h¬pî ®ång d¹ng thø nhÊt)
¸p dông kÕt qu¶ ®Þnh lý ®èi víi hai tam gi¸c vu«ng ∆ A’B’C’ vµ ∆ABC ®· cho ë
Ta thÊy r»ng: (v×: )

VËy suy ra ∆A’B’C’~∆ABC ( Theo tØ sè ®ång d¹ng )

?1
T­¬ng tù nh­ c¸ch chøng minh c¸c tr­êng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c, ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lý nµy b»ng c¸ch nµo kh¸c ?
Gîi ý: Chøng minh theo hai b­íc:
Dùng AMN~ABC
Chøng minh AMN=A’B’C’

Trªn tia AB ®Æt Am=A’B’. Qua M kÎ MN// BC (N AC). Ta cã AMN~ABC.
Ta cÇn chøng minh :AMN=A’B’C’ thËt vËy xÐt AMN vµ A’B’C’ cã:
Vµ AM=A’B’ (Theo c¸ch dùng )
cã

Mµ

Theo gi¶ thiÕt

VËy ( C¹nh huyÒn, c¹nh gãc vu«ng)



3. Tỷ số đường cao, tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.
Định lý 2:
Tỷ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỷ số đồng dạng.
Chøng minh:
A’B’C’~ABC ( theo gt)  vµ
xÐt A’B’H’=ABH cã
vµ ( chøng minh trªn)
 A’B’H’~ABH

định lý 3:
Tỷ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỷ số đồng dạng
Bµi 46: (SGK- 40).
Trªn h×nh 50, h·y chØ ra c¸c tam gi¸c ®ång d¹ng. ViÕt c¸c tam gi¸c nµy theo thø tù c¸c ®Ønh t­¬ng øng vµ gi¶i thÝch v× sao chóng ®ång d¹ng ?
Tr¶ lêi:
Trong h×nh vÏ cã 4 tam gi¸c vu«ng lµ: ABE, ADC, FDE, FBC
ABE~ ADC ( gãc A chung)
ABE~ FDE ( gãc E chung)
ADC ~ FBC ( gãc C chung)
FDE ~ FBC ( gãc F1=gãc F2 ®èi ®Ønh)
v.v.v
( Cã 6 cÆp tam gi¸c ®ång d¹ng)


Bµi 48: (SGK - 84)
Bãng cña mét cét ®iÖn trªn mÆt ®Êt cã ®é dµi lµ 4,5 m. Cïng thêi ®iÓm ®ã, mét thanh s¾t cao 2,1 m c¾m vu«ng gãc víi mÆt ®Êt cã bãng dµi 0,6 m. TÝnh chiÒu cao cña cét ®iÖn.
HD: ta chøng minh cho tam gi¸c vu«ng A’B’C’~ABC
- §Ó chøng minh ®­îc ta l­u ý tíi BC// B’C’ ®Ó suy ra gãc B vµ gãc B’ b»ng nhau
Tõ ®ã ta lËp ®­îc tû sè ®ång d¹ng vµ t×m ®­îc x.
KÕt qu¶ x=15,75 m.
Hướng dẫn về nhà.
Nắm vững các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông, nhất là trường hợp đồng dạng đặc biệt ( cạnh huyền , cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ) tỷ số hai đường cao tương ứng, tỷ số diện tích hai tam giác đồng dạng.
Làm bài tập: 47,48,50 (SGK-50)
Chứng minh định lý 3
Giờ sau luyện tập.
Chúc các em học giỏi.