Chương III. §6. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo)

PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phút)


PHẦN A: Phần chung cho mọi học sinh.
Câu 1: Cho biểu thức:


Rút gọn P;
Tìm m để
;
Tìm các giá trị của m là số tự nhiên sao cho P có giá trị là số tự nhiên;
Câu 2: Tìm các giá trị x; y là số nguyên thỏa mãn phương trình:


Câu 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho số
là số chính phương.
Câu 4: Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AH và BK cùng vuông góc với xy (H, K thuộc xy);
Chứng minh tổng AH + BK có giá trị không đổi khi M di động trên nửa đường tròn;
Chứng minh rằng đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB;
Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKH lớn nhất; Tính diện tích lớn nhất đó;
Câu 5: Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ hai đỉnh A và D, tô xanh 4 đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh đó theo quy tắc sau: Mỗi lần đổi màu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả 3 đỉnh đó (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ). Hỏi sau một số lần đổi màu theo quy tắc đó thì có thể thu được kết quả là đỉnh C màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại màu xanh không?
Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


PHẦN B: Phần riêng cho học sinh trường THCS Vĩnh Tường- yêu cầu học sinh làm riêng phần B ra 1 tờ giấy thi;
Câu 7: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x, y thỏa mãn phương trình:




PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG
HD CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phút)


Câu
Phần
Nội dung
Điểm

1
2đ
a
ĐKXĐ:




0,5


b





0,25



0,5


c

để P có giá trị là số tự nhiên thì

Từ đó tính được

Với m = 0 thì P = - 1 (loại);
Với m = 4 thì p = 1 (thỏa mãn);
Với m = 9 thì p = 2 (thỏa mãn);
Vậy m = 4 hoặc m = 9 thì P có GT là số tự nhiên.
0,25


0,25


0,25

2
1,5đ


(1)
ta có

do đó
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
từ đó tính được

thay vào (1) tìm được các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn PT là;
(x; y) = (2; 6); (2; - 5); (-2; 6); (-2; -5); (1; 4); (1; -3); (-1; 4); (-1; -3)



0,5



0,5

0,5

3
1,5đ

-Với n = 1 ta có T = 9 là số chính phương;
-Với n = 2 ta có T = 29 không là số chính phương;
-Với
ta có T là số chính phương lẻ do đó
(một số chính phương lẻ khi chia cho 4 có số dư là 1);
do
nên
suy ra
mà
suy ra n là số chẵn;
Đặt n = 2k
khi đó

Nhưng một số chính phương không chia hết cho 3 sẽ có dạng
hoặc
với m là số nguyên khi chia cho 3 có số dư là 1 (một số chính phương khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1); Vậy T không là số chính phương khi
.
Kết luận n = 1 thì T là số chính phương;


0,5



0,5





0,5












4
2đ













a
Vì xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên
, có
;
(GT) suy ra AH//BK//OM, suy ra tứ giác AHKB là hình thang;
Mặt khác OA = OB =