Chương III. §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Làm thế nào chúng ta có thể giải được hệ phương trình hai ẩn. Phải chăng đó chỉ là quy về giải phương trình một ẩn?
Nói chung, muốn giải một hệ phương trình hai ẩn, ta tìm cách biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó một phương trình của nó chỉ còn một ẩn.Một trong các cách giải là áp dụng quy tắc sau gọi là quy tắc thế.
I. QUY TẮC THẾ
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương.
Quy tắc thế gồm mấy bước?
Quy tắc thế gồm hai bước sau:
I. QUY TẮC THẾ
Ví dụ 1
Xét hệ phương trình:
x – 3y = 2 (1)
(I)
-2x + 5y = 1 (2)
Giải
Theo bước 1 của qui tắc thế, từ phương trình (1) hãy biểu diễn x theo y?
x = 2 + 3y
(*)
Thay (*) vào (2) ta được gì?
-2( 2 + 3y) + 5y = 1
I. QUY TẮC THẾ
Ví dụ 1
Xét hệ phương trình:
x – 3y = 2 (1)
(I)
-2x + 5y = 1 (2)
Giải
Em hãy giải phương trình một ẩn sau:
-2( 2 + 3y) + 5y = 1
-4 - 6y + 5y = 1
-4 - y = 1
- y = 5
y = - 5
Từ một phương trình của hệ đã cho ( coi là phương trình thứ nhất ), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn ).
Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)
Quy tắc thế gồm hai bước sau:
I. QUY TẮC THẾ
I. QUY TẮC THẾ
Ví dụ 1
Xét hệ phương trình:
x – 3y = 2 (1)
(I)
-2x + 5y = 1 (2)
Giải
Với y = -5 em hãy tính x? Em hãy tính x và kết luận nghiệm của hệ?
Thay y=-5 vào phương trình (*)
x = 2 + 3.(-5) = -13
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (-13 ; -5).
Vậy để tìm được nghiệm của hệ (I) em đã làm như thế nào?
I. QUY TẮC THẾ
Ví dụ 1
Xét hệ phương trình:
x – 3y = 2 (1)
(I)
-2x + 5y = 1 (2)
Bước 1: Biểu diễn x theo y từ phương trình (1). Thay x tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình 1 ẩn để tìm nốt ẩn còn lại rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Việc áp dụng qui tắc thế để tìm được phương trình một ẩn và tiếp tục gỉai phương trình một ẩn để tìm nghiệm của hệ được làm như trên gọi là giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
I. QUY TẮC THẾ
Ví dụ 1
Xét hệ phương trình:
x – 3y = 2 (1)
(I)
-2x + 5y = 1 (2)
Đây là một cách trình bày giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Ngoài ra ta còn có một cách trình bày khác để chúng ta tham khảo (như SGK).
I. QUY TẮC THẾ
Ví dụ 1
Giải hệ phương trình:
x – 3y = 2 (1)
(I)
-2x + 5y = 1 (2)
(I)
Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất là (-13 ; -5).
Giải:
Chúng ta cùng nhau dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình sau:
?1
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai).
Giải:
Biểu diễn y theo x từ phương trình (2)
4x – 5y = 3
3x - y = 16
(II)
II. ÁP DỤNG
(1)
(2)
y = 3x – 16 (*)
Bài 3
Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất là ( 7; 5)
?1
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế( biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai)
II. ÁP DỤNG
Giải:
Thay y = 3x - 16 vào phương trình (1)
4x - 5(3x-16) = 3
4x - 15x + 80 = 3
-11x = -77
x = 7
Thay x=7 vào phương trình (*)
y = 3.7 - 16 = 5
4x – 5y = 3
3x - y = 16
(II)
(1)
(2)
II. ÁP DỤNG
Qua hai ví dụ trên, em hãy cho biết để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế ta làm như thế nào?
Ví dụ1: Biểu diễn x theo y từ phương trình 1.
Bài ?1: Biểu diễn y theo x từ phương trình 2.
Áp dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế một bạn đã giải hệ phương trình như sau:
II. ÁP DỤNG
Giải hệ phương trình (bieåu dieãn y theo x töø phöông trình thöù hai cuûa heä.
4x – 2y = - 6
- 2x + y = 3
(III)
Giải:
(1)
(2)
Biểu diễn y theo x từ phương trình (2)
y = 3 + 2x
Thay y = 3 + 2x vào phương trình (1)
4x – 2( 2x + 3) = -6
4x -4x - 6 = -6
0x = 0
Phương trình này nghiệm đúng với mọi x  R.
Vậy hệ (III) có vô số nghiệm.
Cụ thể, nghiệm của hệ chính là nghiệm của phương trình y = 2x + 3 (x  R).
II. ÁP DỤNG
Bằng minh họa hình học em hãy giải thích kết quả trên?
4x - 2y = -6
-2x + y = 3
Giải:
Phương trình 4x - 2y = -6 xác định đường thẳng y= 3+2x
Phương trình -2x+ y = 3 xác định đường thẳng y= 3+2x
II. ÁP DỤNG
(IV)
4x + y = 2
8x + 2y = 1
(1)
(2)
Giải:
Biểu diễn y theo x từ phương trình (1)
y =.....
8x + 2(-4x + 2) =……
8x -8x + 4 =…..
0x = -3
Phương trình …………. voâ nghieäm (vì baát kyø soá naøo nhaân vôùi 0 khoâng theå baèng -3.
Vậy hệ (IV) ……………
Thay y = ....vào phương trình (2)
Hãy điền vào chỗ chấm trong cách giải hệ phương trình sau:
- 4x + 2
- 4x + 2
1
1
vô nghiệm
0x = -3
II. ÁP DỤNG
(IV)
4x + y = 2
8x + 2y = 1
Giải:
Vậy hệ (IV) vô nghiệm.
Bằng minh họa hình học em hãy giải thích kết quả trên?
Hai đường thẳng đó song song với nhau vì có cùng hệ số góc bằng -4 nhưng có tung độ góc khác nhau.
II. ÁP DỤNG
Qua hai bài trên em nào cho biết khi nào giải hệ phương trình ta kết luận được hệ phương trình vô nghiệm hoặc hệ vô số nghiệm?
Phương trình vô nghiệm thì hệ phương trình vô nghiệm.
Phương trình vô số nghiệm thì hệ phương trình vô số nghiệm.
Ta thấy hai ví dụ trên 0x = 0 và 0x = -3 đều có các hệ số của ẩn bằng không nên phương trình vô nghiệm hoặc hệ phương trình vô số nghiệm.(chú ý)
II. ÁP DỤNG
Qua các ví dụ trên em hãy tóm tắt các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
1) Duøng quy taéc theá bieán ñoåi heä phöông trình ñaõ cho ñeå ñöôïc moät heä phöông trình môùi, trong ñoù coù moät phöông trình moät aån.
2) Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
b)
Bài tập về nhà: Bài 12c , 13 , 14 (trang 15).