Chương I. §6. Đối xứng trục

Bài 3:PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TRỤC
1.Định nghĩa phép đối xứng qua trục.

a


M M’



Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.
Định nghĩa 1:
Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình mỗi điểm M thành M’ đối xứng với M qua a.
Kí hiệu và thuật ngữ.

Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi đơn giản là phép đối xứng trục.
Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa.
Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng,hay là trục đối xứng.
Theo định nghĩa
Khi M thuộc Đa thì có M’ đối xứng với M qua Đa không?



M
M’
a
M = M’
Theo định nghĩa
Nếu phép đối xứng trục Đa biến hình H thành hình H’ thì nó biến hình H’ thành hình nào?
a
A
B
C
B’
A’
C’
H
H’
2.Định lý.
Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Ví dụ chứng minh:
Gọi Đa là phép đối xứng qua đường thẳng a.Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy mà Ox là đường thẳng a.
Lấy 2 điểm tuỳ ý A(xa,ya) và B(xa,ya),hãy viết toạ độ của A’ =Đa(A) và B’=Đ(B).Chứng minh A’B’=AB.
Chứng minh AB=A’B’
A
B
A’
B’
O
y
x
I
J
Cách 2:chứng minh theo vectơ


Cách 1:Dùng công thức tính khoảng cách.
AB² - A’B’²=AC²+BC² - A’C’² - B’C’²
=(xc-xa)²+(yc-ya)²+(xc-xb)²+(yc-yb)²-[(xc’-xa’)²+(yc’-ya’)²+(xc’-xb’)²+(yc’-yb’)² ]
=2yc²-2yc’²+ya²-ya’²+yb²-yb’²-2ycya-2ycyb+2yc’ya’+2yc’yb’
=-2ycya-2ycyb+2ycya+2ycyb
(vì y= -y’ nếu Ox là trục đối xứng)
=0





C
C’
Tính chất của trục đối xứng.
Đa(A)=A’
Đa(B)=B’
AB=A’B’
Nếu phép đối xứng biến điểm A(x;y) thành điểm A’(x’;y’) qua :
Ox:
x = x’
y = -y’
Oy:
x = -x’
y = y’
2.
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm biến đổi thứ tự của 3 điểm.
A
B’
A’
B
C
C’
Tính chất của trục đối xứng
4.Trục đối xứng biến :
Biến 1 tia thành 1 tia.
a
Biến 1 góc thành 1 góc.
Biến 1 tam giác thành 1 tam giác.
A
B
C
A’
B’
C’
Biến 1 hình tròn thành 1 hình tròn.
Trục đối xứng của một hình.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H)=H.
Định nghĩa 2:
Một hình có thể không có trục đối xứng, cũng có thể có một hay nhiều truc đối xứng.
Ví dụ:
Hình bình hành không có trục đối xứng.
Tam giác cân có một trục đối xứng.
Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
Hình tròn có vô số trục đối xứng.
Ứng dụng.
Phép đối xứng qua trục thường được ứng dụng trong ngành kiến trúc xây dựng và phong thuỷ.
Nhà hát lớn
Phủ chủ tịch
Bài tập thực hành.
1.Cho góc nhọn xOy và 1 điểm M nằm trong góc ấy.Gọi M1,M2 theo thứ tự là ảnh của M qua các phép đối xứng trục Ox,Oy.Chứng minh rằng M1 và M2 là ảnh của nhau trong một phép đối xứng trục d và trục d đi qua 1 điểm cố định.
M
M1
x
y
O
d
M2
M đối xứng với M1 và M2 lần lượt qua Ox,Oy :
OM1 = OM
OM2 = OM
OM1 = OM2
OM1M2 cân
Gọi d là trục đối xứng của M1 và M2.
do tam giác OM1M2 cân nên d sẽ đi qua O (điểm cố định).
Bài tập thực hành.
Cho tam giác ABC có tia phân giác AD.Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua AD.Chứng minh rằng khi đó B’ thuộc AC.
A
C
B
D
B’
Ta có :
mà
A,B’,C thẳng hàng.
B’ thuộc AC
Cảm ơn thầy và các bạn đã lắng nghe