Chương I. §5. Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

MỘT SỐ BÀI TOÁN
CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC
CHUYÊN ĐỀ:
Các bài toán có nội dung hình học ở tiểu học có thể chia thành 4 nhóm:
Nhóm 1. Bài toán về nhận dạng các hình hình học.
Nhóm 2. Bài toán về chu vi và diện tích các hình
học phẳng.
Nhóm 3. Bài toán về cắt và ghép hình.
Nhóm 4. Bài toán về diện tích và thể tích các hình
học không gian.
Nhóm 1. Bài toán về nhận dạng các hình hình học
Một số kiến thức cần lưu ý:
3. Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 góc.
4. Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc.
5. Hình chữ nhật là một tứ giác có bốn góc vuông.
7. Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.

8. Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi khi nối 5 điểm đó với nhau ta được bao nhiêu đoạn thẳng?
Giải:
- Có 4 đoạn thẳng chung đầu mút A là: AB; AC; AD, AE.
- Có 3 đoạn thẳng chung đầu mút B là: BC; BD; BE.
- Có 2 đoạn thẳng chung đầu mút C là:CD, CE.
- Có 1 đoạn thẳng chung đầu mút D là: DE
Vậy số đoạn thẳng có được khi nối 5 điểm A, B, C, D, E là:
4 + 3 + 2 + 1 = 10(đoạn)
Đáp số: 10 đoạn thẳng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4 điểm vừa lấy. Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ?
Giải:
Cách 1. (Phương pháp liệt kê)
- Có 5 tam giác chung cạnh
AB là ABD, ABE, ABM, ABN, ABC.
- Có 4 tam giác chung cạnh AD là: ADE, ADM, AND, ADC.
- Có 3 tam giác chung cạnh AE là: AEM, AEN, AEC.
- Có 2 tam giác chung cạnh AM là: AMN, AMC.
- Có 1 tam giác chung cạnh AN là: ANC.
(Các tam giác đếm rồi ta không đếm lại nữa).
Vậy số tam giác ta đếm được trên hình vẽ là:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác).
Cách 2. (Phương pháp lắp ghép)
Nhìn trên hình vẽ ta thấy:
- Có 5 tam giác đơn: (1), (2), (3), (4), (5).
- Có 4 tam giác ghép đôi: (1) + (2), (2) + (3), (3) + (4), (4) + (5).
- Có 3 tam giác ghép 3 là: (1) +(2) +(3), (2) +(3) +(4), (3) +(4) +(5).
- Có 2 tam giác ghép 4 là: (1) + (2) + (3) +(4), (2) + (3) + (4) + (5).
- Có 1 tam gíac ghép 5 là: (1) + (2) + (3) + (4) + (5).
Vậy số tam giác đếm được là:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (tam giác)
Cách 3:
Ta nhận xét:
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác. Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N.
Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 (phương pháp quy nạp) ta có số đọan thẳng đếm được là:
6 x (6 – 1) : 2 = 15 (đoạn thẳng).
Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ.
Cách 4. (Phương pháp quy nạp)
Ta nhận xét:
- Có 3 tam giác đơn là: (1), (2), (3).
- Có 2 tam giác ghép đôi là: (1) +(2), (2) +(3).
- Có 1 tam giác ghép 3 là: (1) + (2) + (3).
Tổng số tam giác đếm được là:
3 + 2 + 1 = 6 (tam giác)
*Nếu trên BC, ta lấy 2 điểm và nối với đỉnh A thì ta đếm được:
Vậy quy luật ở đây là: Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số tam giác đếm được là:
1 + 2 + 3 +…+ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : 2 (tam giác)
Áp dụng:
Trên cạnh đáy BC lấy 4 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 5 và số tam giác đếm được là:
(4 + 2) x (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác)
Ví dụ 2. Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 6 đoạn thẳng?
Giải:
Ta nhận xét:
- Nếu có 3 điểm thì khi nối chúng lại ta được 3 đoạn thẳng.
- Nếu có 4 điểm thì khi nối chúng lại ta được:
4 x (4 – 1) : 2 = 6 (đoạn thẳng)
Vậy để nối lại được 6 đoạn thẳng ta cần ít nhất 4 điểm.
Bài 1. Cho 6 điểm phân biệt. Hỏi khi nối chúng lại với nhau ta được bao nhiêu đoạn thẳng? (Đs: 15 đoạn thẳng).
Bài 2. Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 10 đoạn thẳng? (Đs: 5 điểm).
Bài 3. Cho hình thang ABCD. Trên đáy AD, ta lấy 5 điểm rồi nối đỉnh C với mỗi điểm vừa chọn. Trên đáy nhỏ BC, ta lấy 4 điểm rồi nối đỉnh A với mỗi điểm vừa chọn. Nối AC. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành trên hình vẽ? (Đs: 36 tam giác).
Bài 4. Cho 4 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điển nào cùng nằm trên 1 đoạn thẳng, Hỏi khi nối lại ta thu được bao nhiêu tam giác? (Đs: 4 tam giác).
BÀI TẬP:
Nhóm 2. Các bài toán về cắt và ghép hình
Loại 1. Các bài toán về cắt hình
Loại 2. Các bài toán về ghép hình
Loại 3. Các bài toán về cắt và ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích của hình cắt ra bằng diện tích của hình ban đầu.
Ta thường gặp ở hai dạng sau:
+Dạng 1: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước.
+Dạng 2: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý.
Loại 1. Các bài toán về cắt hình
Dạng 1: Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước.
Ví dụ: Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
Giải:
Cách 1: Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC. Nối AI rồi dùng kéo cắt theo chiều mũi tên. Ta có: SABI = SAIC (vì chung đường cao hạ từ A và đáy BI = CD).
Dạng 2: Cắt một hình cho trước thành các hình
nhỏ có hình dạng tùy ý.
Ví dụ: Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa có diện tích bằng nhau.
Giải:
BÀI TẬP
Bài 1. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa hình tam giác có diện tích bằng nhau. Hãy giải bài toán bằng 12 cách khác nhau.
Bài 2. Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành mảnh bìa hình tam giác sao cho diện tích mảnh này gấp 3 lần mảnh kia.
Bài 3. Cho một mảnh bìa hình tứ giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 3 mảnh bìa có diện tích bằng nhau.
Bài 4. Cho mảnh bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng 36cm và chiều rộng bằng 18cm. Từ đỉnh A hãy dùng 2 nhát cắt để chia mảnh bìa đó thành 3 mảnh có diện tích bằng nhau.
Loại 2. Các bài toán về ghép hình
Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau: Tổng diện tích các hình đem ghép bằng diện tích của hình ghép được. Vì vậy, dựa vào tổng diện tích các hình đem ghép, ta sẽ xác định được kích thước của hình cần ghép.
Loại 3. Các bài toán về cắt và ghép hình
Ví dụ 1. Cho 2 mảnh bìa hình vuông. Hãy cắt 2 mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình vuông.
Giải:
Trước hết ta xét trường hợp 2 hình vuông có kích thước bằng nhau.
Ví dụ 2. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 mảnh nhỏ để ghép lại ta được 1 hình tam giác.
Giải:
Ta có các cách chia sau:
BÀI TẬP
Bài 1. Cho một mảnh bìa hình thang.
a) Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình chữ nhật.
b) Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được hại hình chữ nhật.
c) Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được hai hình tam giác có diện thích bằng nhau.
Bài 2. Hãy cắt một tấm bìa hình tứ giác thành các mảnh rồi ghép chúng lại để được một hình chữ nhật. Vẽ hình minh họa cách cắt ghép.
Bài 3. Cho một mảnh bìa hình tam giác. Hãy cắt mảnh bìa đó thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình chữ nhật.
Nhóm 2. Bài toán về chu vi và diện tích
các hình học phẳng.
Loại 1. Các bài toán về vận dụng công thức tính
chu vi và diện tích các hình học phẳng
Loại 2. Các bài toán giải bằng phương pháp diện tích
Loại 1. Các bài toán về vận dụng công thức tính chu vi và diện tích các hình học phẳng:
Một số kiến thức cần lưu ý:
1. Công thức tính chu vi hình vuông cạnh a:
P = a x 4
2. Công thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b:
P = (a + b) x 2
3. Công thức tính chu vi hình tròn có bán kính r:
P = r x 2 x 3,14
4. Công thức tính diện tích hình tam giác có cạnh đáy
bằng a và đường cao bằng h (cùng một đơn vị đo):
S = a x h : 2
5. Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a: S = a x a
6. Công thức tính diện tích hình chữ nhật có cạnh là a và b (cùng một đơn vị đo): S = a x b
7. Công thức tính diện tích hình bình hành có cạnh đáy là a, chiều cao là h (cùng một đơn vị đo): S = a x h
8. Công thức tính diện tích hình thoi có hai đường chéo là m và n (cùng một đơn vị đo): S = m x n : 2
9. Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là a, đáy nhỏ là b và đường cao là h (cùng một đơn vị đo):
S = (a + b) x h : 2
10. Công thức tính diện tích hình tròn bán kính r là:
S = r x r x 3,14
Giải:
Giải:
Phương pháp diện tích dùng để giải các bài toán về tính diện tích bằng cách vận dụng các tính chất của diện tích.
Các tính chất đó là:
1. Nếu một hình được phân ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích các hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu.
2. Nếu ghép các hình nhỏ để được một hình lớn thì diện tích các hình lớn bằng tổng diện tích của các hình nhỏ.
3. Hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đường cao thì diện tích của chúng bằng nhau.
4. Nếu số đo cạnh dáy không đổi thì số đo diện tích và số đo đường cao của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
5. Nếu số đo đường cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
6. Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo đường cao và số đo cạnh đáy của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
7. Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần diện tích chung thì phần còn lại của hai hình đó cũng có diện tích bằng nhau.
8. Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình thì hai hình mới nhận được cũng có diện tích bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho hình tứ giác ABCD. Lấy M, N, P, Q là trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD. So sánh diện tích tứ giác ABCD và diện tích tứ giác MNPQ.
Giải:
Giải:
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình vuông ABCD. Trên mỗi cạnh của hình vuông được chia thành các phần bằng nhau (như hình vẽ). Biết diện tích hình vuông ABCD là 144 . Tính diện tích hình tam giác tô đậm. (Đs: 39 )
Nhóm 4. Bài toán về diện tích và thể tích các hình học không gian.
Một số kiến thức cần lưu ý:
Ví dụ 1. Người ta ghép hai hình lập phương cạnh 4cm thành một hình hộp chữ nhật. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình hộp chữ nhật đó.
Giải:
Bài 2. Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 2,8m; chiều rộng và chiều cao 1,5m. Nước trong bể hiện chiếm 45% thể tích của bể. Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước nũa để thể tích nước trong bể chiếm 85% thể tích bể?
(Đs: 2352 lít nước)