Chương I. §1. Tứ giác

BÍ MẬT VẺ ĐẸP CỦA KIM CƯƠNG…
ĐÓ LÀ…
…nhờ cấu trúc mạng tinh thể kim cương có dạng tứ diện đều

Tứ diện là một hình có bốn đỉnh trong không gian ba chiều. Tứ diện có bốn mặt là bốn tam giác và có sáu cạnh. Đây là dạng hình khối ba chiều đơn giản nhất, cũng như tam giác là dạng hình phẳng hai chiều đơn giản nhất.
Cuốn tiểu luận “Một số chuyên đề về các tứ diện đặc biệt” được thực hiện với mong muốn góp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn yêu thích tìm hiểu môn “hình học không gian” với chủ đề những tứ diện đặc biệt”.

Đừng xấu hổ khi không biết, chỉ xấu hổ khi không học.
Nội dung cuốn sách bao gồm năm chuyên mục lớn:
I. Tứ diện gần đều
II. Tứ diện đều
III. Tứ diện vuông
IV. Tứ diện trực tâm
V. Lịch sử một số nhà hình học lớn
Với mỗi chuyên đề chúng tôi đều đưa ra định nghĩa,
tính chất đặc trưng của mỗi loại tứ diện (có thể có
những hệ quả đi kèm). Phần nội dung quan trọng nhất
là chứng minh các tính chất tứ diện và các bài tập (ví
dụ). Hệ thống bài tập bao gồm những bài tập được
sắp xếp theo thứ tự từ cơ bản đến khó.
Giáo dục là làm cho con người tìm thấy chính mình." – Socrates (469–399 TCN)
Học thầy, học bạn, vô vạn phong lưu." (Tục ngữ dân tộc Thái–Việt Nam)
tứ diện gần đều
Tứ diện gần đều

Định nghĩa:
Một tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một gọi là tứ diện gần đều. Tứ diện gần đều còn gọi là tứ diện cân.
Tính chất
Một tứ diện gần đều có:
* Bốn mặt là các tam giác
bằng nhau.
* Các mặt của tứ diện là
những tam giác có ba
góc đều nhọn.
* Tổng các góc tại một đỉnh
bất kì của tứ diện bằng 180.
* Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau
* Tất cả các mặt của tứ diện tương đương nhau.

Tứ diện gần đều

"Hỏi một câu chỉ dốt chốc lát. Nhưng không hỏi sẽ dốt nát cả đời."
(Ngạn ngữ phương Tây)
* Bốn đường cao của tứ diện có độ dài bằng nhau.
* Tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau và trùng với trọng tâm của tứ diện .
* Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
* Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.


Kiến thức chỉ có được qua tư duy của con người." – A. Einstein (1879–1954)
Tứ diện gần đều
* Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là đường vuông góc chung của hai cạnh đó.
* Tứ diện có ba trục đối xứng.
* Tổng các côsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.
Bộ lông làm đẹp con công, học vấn làm đẹp con người." (Ngạn ngữ Nga)
Tứ diện gần đều
Tứ diện đều

Bé chẳng học, lớn làm gì?" (Ngạn ngữ Trung Quốc)
Tứ diện đều
Tứ diện đều
Định nghĩa:
Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các
cạnh bằng nhau.
Tính chất:
* Các mặt là các tam giác đều
bằng nhau.
* Các cạnh bên tạo với đáy các
góc bằng nhau và đều bằng 60 độ.
* Các mặt bên nghiêng đều với đáy.

* Chân đường cao hạ từ 1 đỉnh
bất kỳ trùng với trực tâm,
trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp
và tâm đường tròn ngoại tiếp của mặt đó.
Tứ diện đều

"Ngủ dậy muộn thi phí mất cả ngày, ở tuổi thanh niên mà không
học tập thì phí mất cả cuộc đời." (Ngạn ngữ Trung Quốc)
* Tâm mặt cầu ngoại tiếp, tâm mặt cầu nội tiếp và tâm của tứ diện trùng nhau.
* Đường cao của tứ diện bằng và thể

tích của tứ diện bằng

* Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

* Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau.
Tứ diện đều

Trong cách học, phải lấy tự học làm cốt" [Hồ Chí Minh](1890–1969)
* Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất kỳ là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
* Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kỳ bằng

* Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a là hình lập phương có cạnh bằng
Tứ diện đều

"Học không biết chán, dạy người không biết mỏi" [Khổng Tử ]

"Hỏi một câu chỉ dốt chốc lát. Nhưng không hỏi sẽ dốt nát cả đời."
(Ngạn ngữ phương Tây)
Tứ diện vuông
tứ diện vuông
Định nghĩa:
Tứ diện vuông là tứ diện có một góc tam diện vuông hay có các cặp cạnh ở đỉnh đôi một vuông góc.
Tính chất
Cho tứ diện OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, H là chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng đáy:
* Các cạnh đối của tứ diện vuông vuông góc với nhau.

* Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với trực tâm mặt đáy.

Tứ diện vuông

Học tập là một việc suốt đời" [Hồ Chí Minh]
* Nghịch đảo của bình phương độ dài đường cao tứ diện bằng tổng các nghịch đảo bình phương các cạnh bên của tứ diện.



* Tổng bình phương cos các góc tạo bởi đường cao của tứ diện và các cạnh bên bằng 1.
"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc."
(Ngạn ngữ Gruzia)
Tứ diện vuông
* Tổng bình phương cos các góc tạo bởi mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy bằng 1.Gọi ` là các góc hợp bởi giữa mặt phẳng đáy ` và các mặt phẳng bên thì


* Bình phương diện tích mặt đáy bằng tổng bình phương các mặt bên.
"Học tập là hạt giống của kiến thức, kiến thức là hạt giống của hạnh phúc."
(Ngạn ngữ Gruzia)
Tứ diện vuông



Tứ diện vuông
Chơi mà không học thì mất cả tương lai.
tứ diện trực tâm

"Ngủ dậy muộn thi phí mất cả ngày, ở tuổi thanh niên mà không học tập thì
phí mất cả cuộc đời." (Ngạn ngữ Trung Quốc)
Tứ diện trực tâm
Định nghĩa:
Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.

Tính chất:
Cho ABCD là tứ diện trực tâm

* Các đường cao của tứ diện đồng quy.
* Mỗi đường cao của tứ diện đi qua trực tâm của mặt đáy tương ứng.
* Các đoạn nối trung điểm các cạnh đối bằng nhau.
Tứ diện trực tâm

“Một ngày ngồi trách móc sao bằng một giờ làm việc. Một giờ này làm lòng ta nhẹ
và túi ta nặng.” – Benjamin Franklin
*Tổng bình phương các cạnh đối bằng nhau

* Các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối đồng quy.
* Với mọi điểm M nằm trong tứ diện ta có:


với V là thể tích của tứ diện (dấu "=" xảy ra khi M trùng với trực tâm của tứ diện).

* Trung điểm của các cạnh và các chân của các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện nằm trên một mặt cầu.

"Ngủ dậy muộn thi phí mất cả ngày, ở tuổi thanh niên mà không học tập thì
phí mất cả cuộc đời." (Ngạn ngữ Trung Quốc)
Tứ diện trực tâm
Tính chất của các tứ diện đặc biệt là công cụ hữu hiệu để giải toán hình học không gian

Mặc dù đã cố gắng nhiều nhưng bài tiểu luận này không tránh khỏi thiếu sót vì thế chúng tôi mong nhận được sự góp ý từ phía các thầy cô giáo cùng các bạn học sinh để lần sau chúng tôi sẽ thực hiện tốt hơn.

Ai bảo toán học là khô khan ???
Phan Huyền Trang - Trần Lan Hương
Đặng Út Linh - Mai Huyền Trang
Phạm Vân Anh - Phạm Minh Mẫn
Nguyễn Thanh Minh - Phạm Phương Thuý
Chân thành cảm ơn cô giáo và các bạn đã chú ý lắng nghe. Chúc tiết học hôm nay thành công tốt đẹp.