Chứng minh BĐT (giúp bạn Phan Mạnh Cường)

Bài toán:
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

.
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn:
Cách 1: (theo đáp án)
Từ
(*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z)

Suy ra
(Áp dụng (*))

(1)
Tương tự ta có:
(2)

(3)
Từ (1), (2), (3) ta có

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1.
Cách 2:
Áp dụng BĐT : (ax + by)2
(a2 + b2)(x2 + y2)
=>

Dấu "=" xảy ra

Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = (x + y)(x + z)

=>

=>

Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh.