Chủ đề 2: Hàm số và đồ thị

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài 1:Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm :M(2 ; 1) và N(5; - và đường thẳng (d):y = ax+ b
a) Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua M và N
b) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với 2 trục Ox và Oy
Giải:
a) Vì đường thẳng (d) : y = ax + b đi qua 2 điểm M và N nên lần lượt thay x = 2, y = 1 và x = 5 , y = - vào phương trình đường thẳng (d), ta có hệ phương trình


Vậy đường thẳng (d) : y = - x + 2
b) Xác định tạo độï giao giao điểm của (d) với 2 trục toạ độ
+ Giao của (d) với trục Oy: Cho x = 0 vào phương trình y = - x + 2 ta tìm được
y = 2 => (d) cắt trục Oy tại điểm (0; 2)
+ Giao của (d) với trục Ox : Cho y = 0 ta có: 0 = - x + 2 => x = 4
(d) cắt trục Ox tại điểm (4;0)
Bài 2:
Cho các hàm số :
y = x2 (P) ; y = 3x + m2 (d) ( x là biến số , m là tham số cho trước)
1) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m , đường thẳng (d) luôn cắt parabol(P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol(P).Tìm m để có đẳng thức :
y1 + y2 = 11y1.y2

Giải:
Câu 1 (1 điểm)
Hoành đôï giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là nghiệm của
phương trình : x2 = 3x + m2
x2  - 3x - m2 = 0 (*)
Phương trình (*) có : = 9 + 4m2 > 0 với mọi m
=> phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
=> Đường thẳng (d) bao giờ cũng cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

Câu 2 (1 điểm)
Gọi A và B là giao điểm của đường thẳng (d) và para bol (P) và toạ độ giao điểm của chúng là:
A(x1; y1) ; B(x2 ; y2)
Áp dụng hệ thức viet cho phương trình (*) ta có :

Ta có y1 + y2 = ( 3x1 + m2) + (3x2 + m2 ) = 3(x1 + x2) + 2m2 = 2m2 + 9 (1)
và y1.y2 = x12.x22 = (x1.x2)2 = (-m2)2 = m4 (2)
Từ (1) và (2) ta có :
y1 + y2 = 11y1 .y2
2m2  + 9 = 11 m4 (3)
11m4 – 2m2 – 9 = 0
Đặt : t = m2 , điều kiện t 0 ,phươưng trình (3) trở thành:
11t2 – 2t – 9 = 0
Vì phương trình có a + b + c = 0, nên phương trình có 1 nghiệm là t = 1
ngiệm còn lại là t = - (loại)
Với t = 1 => m2 = 1 => m = 1
Vì phương trình (*) có nghiệm với mọi m nên m = 1 thoả mãn
=> đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có tung độ thoả mãn
y1 + y2 = 11y1.y2 m = 1


Bài 3: Trên parabol y = x2 lấy 2 điểm A và B .Biết hoành độ của điểm A là xA = - 2 và tung độ của điểm B là yB = 8 .Viết phương trình đường thẳng AB.
Giải:
Vì điểm A có có hoành độ xA = - 2 thuộc đồ thị hàm số y =
x2 nên tung độ của điểm A là
yA =
(- 2)2 = 2. Vậy điểm A(- 2; 2)
Vì điểm B có tung độ yB = 8 thuộc đồ thị hàm số y =
x2 nên hoành độ của điểm B là:
8 =
xB2 => xB2 = 16 => xB =
4. Vậy ta có hai điểm B thỏa mãn đề bài B1(4; 8) ; B2(- 4; 8)
Gọi đường thẳng AB cần tìm là: y = ax + b
Trường hợp 1: Điểm A(- 2 ; 2) và B(4; 8) ta có:
giải hệ PT này ta được a = 1; b = 4